Чему равны углы ромба, если его сторона равна 5 см, а площадь - 12,5 см2?

Olga

16

Чтобы найти значения углов ромба, нам понадобится использовать свойства ромба и соотношение между его сторонами и диагоналями.

1. Площадь ромба может быть вычислена по формуле: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \], где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба. Зная, что площадь ромба равна 12,5 см², мы можем использовать эту формулу, чтобы найти произведение диагоналей.

2. Так как ромб является равнобедренным, то его диагонали перпендикулярны друг другу и делят углы ромба пополам. Таким образом, каждый из четырех углов ромба будет равен половине центрального угла между диагоналями.

Пошаговое решение:

1. Запишем формулу для площади ромба: \[ 12,5 = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
2. Учитывая, что сторона ромба равна 5 см, можно выразить одну из диагоналей через сторону: \[ d_1 = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \text{сторона} \]
Заменяем значение: \[ d_1 = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 = 10 \cdot \sqrt{2} \]
3. Подставляем это значение в формулу площади и находим вторую диагональ: \[ 12,5 = \frac{10 \cdot \sqrt{2} \cdot d_2}{2} \]
После преобразований получаем: \[ d_2 = \frac{12,5 \cdot 2}{10 \cdot \sqrt{2}} = \frac{25}{\sqrt{2}} \]
Приближенное значение: \[ d_2 \approx 17,68 \, \text{см} \]
4. Теперь мы можем вычислить каждый из четырех углов ромба, используя соотношение, что каждый угол равен половине центрального угла между диагоналями. Мы можем найти центральный угол из соотношения сторон и диагоналей ромба.
Используем теорему косинусов для нахождения центрального угла:
\[ \cos{\frac{\theta}{2}} = \frac{(\frac{10 \cdot \sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{17,68}{2})^2 - 5^2}{2 \cdot (\frac{10 \cdot \sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{17,68}{2})} \]
После преобразований получаем: \[ \cos{\frac{\theta}{2}} \approx 0,871 \]
Находим значение центрального угла: \[ \frac{\theta}{2} \approx \arccos{0,871} \]
Приближенное значение: \[ \frac{\theta}{2} \approx 29,82^\circ \]
5. И, наконец, находим значения каждого из четырех углов ромба: \[ \theta \approx 2 \cdot \frac{\theta}{2} \approx 59,64^\circ \]

Таким образом, каждый из углов ромба равен приблизительно 59,64 градуса.