Через какой период времени активность изотопа Cs-137, который является наиболее опасным из загрязнений, вызванных

Дождь

57

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу для расчета остаточной активности изотопа, которая имеет вид:

\[ A_t = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

где:
- \( A_t \) - остаточная активность изотопа через время \( t \)
- \( A_0 \) - начальная активность изотопа
- \( T \) - период полураспада изотопа

Нам известно, что активность должна уменьшиться в 8 раз. Это означает, что остаточная активность \( A_t \) будет восьмым частью начальной активности \( A_0 \). То есть:

\[ A_t = \frac{1}{8} \cdot A_0 \]

Подставим известные значения:
\[ \frac{1}{8} \cdot A_0 = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

Далее, мы можем сократить \( A_0 \) с обеих сторон, и получим:

\[ \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

Теперь, возведем обе части уравнения в степень обратную 2:

\[ \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\right)^{\frac{1}{2}} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2^{\frac{t}{T}}} \]

Мы можем упростить левую часть уравнения:

\[ \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]

Теперь, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 \]

\[ \frac{1}{8} = \frac{1}{4 \cdot 2} \]

Упростим правую часть уравнения:

\[ \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, получили равенство, которое всегда верно. Это означает, что любое значение \( t \) удовлетворяет условию задачи. То есть, активность изотопа Cs-137 будет уменьшаться в 8 раз примерно через каждый период полураспада, то есть каждые 30 лет.