Через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение

Chernysh_5515

36

Для начала, давайте проанализируем данную задачу. У нас есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1, где AB является нижним основанием, а CC1 - серединой ребра. Мы также знаем, что сечение, проведенное через сторону AB и середину ребра CC1, образует угол 30° с плоскостью основания. Наша задача - найти объем данной призмы при условии, что длина ее бокового ребра составляет...

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства правильных треугольных призм. Эти свойства позволяют нам рассчитать объем призмы на основе известных данных.

Первым шагом в решении задачи будет нахождение длины бокового ребра призмы. У нас уже есть информация о длине ребра CC1, поэтому нам нужно вычислить длину бокового ребра, обозначим его как l.

Для этого, воспользуемся свойствами правильного треугольника. В треугольнике ABC, сторона AB является нижним основанием треугольной призмы. Так как треугольник ABC является правильным, то все его стороны равны. Обозначим длину стороны как a.

Теперь, по теореме Пифагора, можем выразить длину бокового ребра l через a и CC1:

\[ AB^2 = a^2 + CC1^2 \]
\[ a^2 = AB^2 - CC1^2 \]
\[ a^2 = (2l)^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2 \]
\[ a^2 = 4l^2 - \frac{l^2}{4} \]
\[ a^2 = \frac{15l^2}{4} \]

Таким образом, получаем уравнение для длины стороны треугольника ABC.

Теперь, чтобы найти объем призмы, нам нужно знать площадь основания (площадь треугольника ABC) и высоту призмы.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле площади треугольника через длины его сторон:

\[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]
\[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{15l^2}{4} \]
\[ S_{ABC} = \frac{15\sqrt{3}l^2}{16} \]

Теперь нам нужно найти высоту призмы, которую мы обозначим как h. Высота призмы равна высоте треугольника ABC, так как треугольник ABC является основанием призмы.

Используем формулу площади треугольника через высоту и одну из сторон:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
\[ \frac{15\sqrt{3}l^2}{16} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15l^2}{4} \cdot h \]
\[ \frac{15\sqrt{3}l^2}{16} = \frac{15l^2}{8} \cdot h \]
\[ \frac{15\sqrt{3}}{16} = \frac{15}{8} \cdot h \]
\[ h = \frac{16\sqrt{3}}{8} \]
\[ h = 2\sqrt{3} \]

Итак, мы нашли высоту призмы.

Теперь, используем формулу объема призмы:

\[ V = S_{ABC} \cdot h \]
\[ V = \frac{15\sqrt{3}l^2}{16} \cdot 2\sqrt{3} \]
\[ V = \frac{45l^2}{16} \]

Таким образом, объем призмы составляет \(\frac{45l^2}{16}\).

Это детальное решение задачи, включающее все пояснения и шаги для понимания школьником.