Четырехугольник IJKL имеет точку O. Что является данным четырехугольником, если вектор OL→+IO→ равен вектору OK→+JO→?

Sergeevich

9

Чтобы понять, что представляет собой четырехугольник IJKL исходя из заданных условий, давайте рассмотрим каждую из возможных фигур - трапецию, ромб, квадрат и параллелограмм, и проверим, выполняются ли данные условия для каждой из них.

1. Трапеция:
В трапеции, две стороны параллельны, а две другие - нет. Назовем эти стороны AB и DC, где AB || DC. Пусть точки O, L, I и K лежат на отрезках AD, AB, BC и CD соответственно. Из условия задачи известно, что вектор OL→ + IO→ равен вектору OK→ + JO→. Если представить вектор OL→ как сумму векторов OA→ и AL→, где O - точка O, A - точка A, а L - точка L, аналогично для векторов IO→, OK→ и JO→, то условие задачи можно записать в виде:
OA→ + AL→ + IA→ + JK→ = OA→ + AK→ + JO→
Сокращаем общие векторы:
AL→ + IA→ + JK→ = AK→ + JO→
Наблюдение:
Если точки O, A, L, I и K образуют трапецию, то прямая, соединяющая середины её боковых сторон, будет параллельна основаниям трапеции и равна половине их суммы. Обозначим середины сторон AL и JK как M и N соответственно. Тогда условие задачи можно переписать в виде:
AM→ + IM→ + JN→ = AN→ + ON→
Это условие указывает на то, что векторы AM→ и JN→ параллельны друг другу и равны векторам IM→ и ON→ соответственно.

2. Ромб:
В ромбе, все стороны равны. Пусть AB, BC, CD и DA - стороны ромба, а точки O, L, I и K лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно. Аналогично предыдущему случаю, из условия задачи известно, что вектор OL→ + IO→ равен вектору OK→ + JO→. Представив эти векторы как сумму других векторов, получим:
OA→ + AL→ + IA→ = OA→ + AK→ + JO→
Сокращаем общие векторы:
AL→ + IA→ = AK→ + JO→
Наблюдение:
Если точки O, A, L и I образуют ромб, то прямая, соединяющая середины его сторон, будет параллельна диагоналям ромба и равна половине их суммы. Обозначим середину стороны AL как M, а середину стороны IK как N. Тогда условие задачи можно переписать в виде:
AM→ + IM→ = AN→ + ON→
Это условие указывает на то, что векторы AM→ и IM→ параллельны друг другу и равны векторам AN→ и ON→ соответственно.

3. Квадрат:
В квадрате, все стороны равны и углы прямые. Представим квадрат ABCD, где точки O, L, I и K лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно. Тогда из условия задачи следует, что вектор OL→ + IO→ равен вектору OK→ + JO→. Представим эти векторы как сумму других векторов:
OA→ + AL→ + IA→ = OA→ + AK→ + JO→
Сокращаем общие векторы:
AL→ + IA→ = AK→ + JO→
Наблюдение:
Если точки O, A, L и I образуют квадрат, то прямая, соединяющая середины его диагоналей, будет параллельна его сторонам и равна половине их суммы. Обозначим середину стороны AL как M, а середину стороны IK как N. Тогда условие задачи можно переписать в виде:
AM→ + IM→ = AK→ + JO→
Это условие указывает на то, что векторы AM→ и IM→ равны векторам AK→ и JO→ соответственно.

4. Параллелограмм:
В параллелограмме, противоположные стороны равны и параллельны. Представим параллелограмм ABCD, где точки O, L, I и K лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно. Условие задачи гласит, что вектор OL→ + IO→ равен вектору OK→ + JO→. Представим эти векторы как сумму других векторов:
OA→ + AL→ + IA→ = OA→ + AK→ + JO→
Сокращаем общие векторы:
AL→ + IA→ = AK→ + JO→
Наблюдение:
Если точки O, A, L и I образуют параллелограмм, то прямая, соединяющая середины его диагоналей, будет равна векторам, образованным прямыми, соединяющими середины его противоположных сторон. Обозначим середину стороны AL как M, а середину стороны IK как N. Тогда условие задачи можно переписать в виде:
AM→ + IM→ = AN→ + ON→
Это условие указывает на то, что векторы AM→ и IM→ равны векторам AN→ и ON→ соответственно.

Исходя из рассмотрения каждой из четырех возможных фигур, мы видим, что условие задачи наиболее точно соответствует определением параллелограмма. В параллелограмме векторы, соединяющие середины сторон, равны векторам, соединяющим срединные точки противоположных сторон. Таким образом, мы можем заключить, что четырехугольник IJKL является параллелограммом.