Чи можна довести, що для всіх дійсних значень а нерівність (2а-5)(2а+5)-(3а-2)2{ displaystyle leqslant }2(а-12

  • 63
Чи можна довести, що для всіх дійсних значень а нерівність (2а-5)(2а+5)-(3а-2)2{\displaystyle \leqslant }2(а-12) виконується?
Панда_102
52
Давайте разберемся с этой задачей. Нам нужно показать, что для всех действительных значений \(a\) неравенство \((2a-5)(2a+5)-(3a-2)^2 \leqslant 2(a-12)\) выполняется.

Для начала, давайте упростим обе стороны неравенства и посмотрим, что получится.

В левой части у нас есть произведение двух выражений \((2a-5)(2a+5)\), давайте раскроем скобки:

\((2a-5)(2a+5) = (4a^2 - 25)\)

Теперь, раскроем скобки во второй части:

\((3a-2)^2 = (3a-2)(3a-2) = 9a^2 - 12a + 4\)

Исходное неравенство принимает вид:

\((4a^2 - 25) - (9a^2 - 12a + 4) \leqslant 2(a-12)\)

Давайте упростим и решим данное неравенство шаг за шагом:

\((4a^2 - 25) - (9a^2 - 12a + 4) \leqslant 2(a-12)\)

Распишем скобки и сократим подобные слагаемые:

\(4a^2 - 25 - 9a^2 + 12a - 4 \leqslant 2a - 24\)

Сгруппируем все слагаемые в левой части:

\(-5a^2 + 12a - 33 \leqslant 2a - 24\)

Перенесем все слагаемые в правую часть:

\(-5a^2 + 12a - 33 - 2a + 24 \leqslant 0\)

Упростим:

\(-5a^2 + 10a - 9 \leqslant 0\)

Теперь нам нужно найти значения \(a\), при которых это неравенство выполняется. Для этого можно использовать факторизацию или квадратное уравнение. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

\(-5a^2 + 10a - 9 = 0\)

Для решения этого уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

\(D = 10^2 - 4(-5)(-9) = 100 - 180 = -80\)

Так как дискриминант отрицательный, то у нас нет рациональных корней. Это означает, что квадратное уравнение не имеет решений.

Из этого следует, что неравенство \(-5a^2 + 10a - 9 \leqslant 0\) выполняется для всех значений \(a\).

Таким образом, мы доказали, что для всех действительных значений \(a\) неравенство \((2a-5)(2a+5)-(3a-2)^2 \leqslant 2(a-12)\) выполняется.