3. Для какого выражения можно сформулировать неравенство, если известно, что 0 < k < 4/3 и 0 < l < 2/3: k^2+l^2

Карамелька_6212

28

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

3. Для формулирования неравенства для выражения \(k^2+l^2\), основываясь на условии \(0 < k < \frac{4}{3}\) и \(0 < l < \frac{2}{3}\), мы можем заметить, что каждая из переменных \(k\) и \(l\) находится в интервале от 0 до определенного положительного значения. Так как квадрат числа всегда неотрицательный, то и сумма \(k^2 + l^2\) также будет неотрицательной. Мы можем записать неравенство: \(k^2 + l^2 \geq 0\).

Далее, для выражения \(k^{-1} \cdot l^{-1}\), где \(k^{-1}\) обозначает обратное к \(k\) число, мы можем записать \(k^{-1} = \frac{1}{k}\) и аналогично \(l^{-1} = \frac{1}{l}\). Так как \(k\) и \(l\) положительны в данном случае, обратные значения \(\frac{1}{k}\) и \(\frac{1}{l}\) также будут положительными. Умножение двух положительных чисел даёт положительный результат, поэтому мы можем записать неравенство: \(k^{-1} \cdot l^{-1} > 0\).

4. Чтобы доказать неравенство \(\frac{{(m+n)^2}}{2} \leq m^2 + n^2\), давайте начнем с раскрытия квадрата в левой части неравенства: \(\frac{{m^2 + 2mn + n^2}}{2}\). Затем упростим наше выражение: \(m^2 + 2mn + n^2 \leq 2m^2 + 2n^2\). Теперь давайте вычтем \(m^2\) и \(n^2\) с обеих сторон неравенства: \(2mn \leq m^2 + n^2\).

Мы знаем, что сумма квадратов двух или более положительных чисел всегда больше или равна удвоенному их произведению (неравенство Коши-Буняковского). Таким образом, мы можем заключить, что \(2mn \leq m^2 + n^2\), что и требовалось доказать.

5. Если \(a > 0\) и \(b < 0\), то произведение \(ab\) будет отрицательным. Представим это на примере: если \(a = 2\) и \(b = -3\), то \(ab = 2 \cdot (-3) = -6\), что является отрицательным числом. Таким образом, мы можем сделать вывод, что \(ab < 0\) при данных условиях.

6. Для доказательства неравенства \(a^3 > (a - 1)(a^2 + a + 1)\), давайте начнем с раскрытия скобок в правой части неравенства: \(a^3 > a^3 + a^2 + a - a^2 - a - 1\). После упрощения получим: \(a^3 > -1\).

Мы знаем, что куб числа всегда положителен или равен 0, так как мы умножаем положительное или отрицательное число на себя два раза. Следовательно, \(a^3\) всегда больше или равно 0, и не может быть меньше, чем -1. Таким образом, неравенство \(a^3 > -1\) верно для любых значений \(a\), что и требовалось доказать.

Надеюсь, эти разъяснения и шаги решения помогли. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!