Сколько заданий было выполнено Бондом, если он получил за каждое задание в два раза больше денег, чем за предыдущее

Hrustal_9149

42

Давайте решим задачу пошагово и подробно:

Пусть число выполненных заданий Бондом равно \( n \).
Мы знаем, что за каждое задание он получил в два раза больше денег, чем за предыдущее задание.

Предположим, что за первое задание Бонд получил некоторую сумму денег \( x \) рублей.
Тогда за второе задание он получил \( 2x \) рублей, за третье - \( 4x \) рублей, за четвёртое - \( 8x \) рублей и так далее.

Общая сумма его заработка будет равна сумме денег за все выполненные задания.

То есть, мы можем записать уравнение для суммы его заработка следующим образом:

\[x + 2x + 4x + 8x + \ldots = 1000\]

Здесь сумма бесконечно увеличивающихся слагаемых представляет все деньги, которые он заработал.

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r}\]

Где \(S\) - сумма бесконечной геометрической прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии и \(r\) - шаг прогрессии.

В нашем случае, первый член прогрессии \(a = x\) и шаг прогрессии \(r = 2\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[\frac{x}{1 - 2} = 1000\]

\[x = -1000\]

На первый взгляд, полученное значение отрицательное, но в контексте задачи это означает, что Бонд потерял 1000 рублей, выполняя задания.

Так как нельзя заработать отрицательное количество денег, мы понимаем, что мы выбрали неправильное начальное значение \(x\).

Давайте выберем другое начальное значение \(x\) и попытаемся решить уравнение.

Примерно оценивая условие задачи, давайте возьмём \(x = 10\) рублей, и начнём наше решение с него.

Теперь, используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, можем получить решение:

\[\frac{10}{1 - 2} = -10\]

Уже намного лучше! Общая сумма заработка Бонда составила -10 рублей. Но это все равно невозможно, поскольку здесь тоже отрицательное значение.

Продолжим увеличивать \(x\) и попробуем другие значения:

Пусть \(x = 100\) рублей:

\[\frac{100}{1 - 2} = 100\]

На этот раз получили положительное значение, равное 100 рублей. Это означает, что за каждое выполненное задание Бонд получил 100 рублей, основываясь на условии задачи.

Теперь мы можем выразить общее число выполненных заданий, используя полученное значение \(x\):

\[\text{Общее число выполненных заданий} = n = \frac{1000}{x}\]

\[\text{Общее число выполненных заданий} = n = \frac{1000}{100}\]

\[\text{Общее число выполненных заданий} = n = 10\]

Таким образом, Бонд выполнил 10 заданий.

Мы можем окончательно ответить на вопрос: Бонд выполнил 10 заданий, чтобы превысить сумму в 1000 рублей.