Чи можна підтвердити, що пряма AN, проведена через точку N, яка знаходиться поза площиною шестикутника ABCDEF

Золотой_Дракон

66

Щоб вийти на ці висновки, розглянемо кожне твердження окремо та обґрунтуємо кожен крок доказу.

Твердження 1: AN ⊥ AC
Щоб довести, що пряма AN перпендикулярна до прямої AC, нам потрібно показати, що кут між цими прямими дорівнює 90 градусів.

Пояснення кроку:
Ми знаємо, що AN проведена через точку Н, яка знаходиться поза площиною шестикутника ABCDEF. Це означає, що вектори AN і AC, спрямовані у зворотніх напрямках, бо AN йде через площину, а AC - на ній. Тому ми можемо розглядати вектор AN як вектор, що йде з початку координат до точки N.

1. Припустимо, що координати точки A дорівнюють \((x_A, y_A, z_A)\), а координати точки N дорівнюють \((x_N, y_N, z_N)\). Тоді координати векторів AN і AC можна виразити як \(\overrightarrow{{AN}} = (x_N - x_A, y_N - y_A, z_N - z_A)\) і \(\overrightarrow{{AC}} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)\), де C - це будь-яка точка на прямій AC.

2. Ми можемо використовувати вектори для обчислення скалярного добутку. Скалярний добуток векторів AN і AC дорівнює \( \overrightarrow{{AN}} \cdot \overrightarrow{{AC}} = 0 \), якщо вектори перпендикулярні.

3. Підставимо значення координат векторів AN і AC:
\((x_N - x_A, y_N - y_A, z_N - z_A) \cdot (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = 0\).

4. Розкриємо це скалярний добуток:
\((x_N - x_A)(x_C - x_A) + (y_N - y_A)(y_C - y_A) + (z_N - z_A)(z_C - z_A) = 0\).

5. Простір ABCDEF - плоский, тобто всі його точки розташовані у одній площині. Це означає, що координати точок ABCDEF можна виразити за допомогою залежності між ними. Наприклад, точка C може бути виражена як деяка лінійна комбінація точок A і B (наприклад, \(C = \alpha \cdot A + (1 - \alpha) \cdot B\), де \(\alpha\) - деякий коефіцієнт). Отже, ми можемо записати координати прямої AC у вигляді \((x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)\).

6. Оскільки вектор AN йде з початку координат до точки N, ми можемо припустити, що \((x_N - x_A, y_N - y_A, z_N - z_A)\) - це вектор, що з"єднує точки N та А.

7. Отже, наше початкове рівняння можна переписати:
\((x_N - x_A)(x_A - x_A) + (y_N - y_A)(y_C - y_A) + (z_N - z_A)(z_C - z_A) = 0\).
\((x_N - x_A) \cdot 0 + (y_N - y_A)(y_C - y_A) + (z_N - z_A)(z_C - z_A) = 0\).
\( (y_N - y_A)(y_C - y_A) + (z_N - z_A)(z_C - z_A) = 0\).

8. Оскільки \(A \neq C\), ми можемо припустити, що \( (y_N - y_A) \neq 0\) або \( (z_N - z_A) \neq 0\). Тоді рівняння показує, що скалярний добуток \((y_N - y_A)(y_C - y_A)\) або \((z_N - z_A)(z_C - z_A)\) дорівнює нулю. Це можливо лише тоді, коли один або обидва з цих векторів дорівнюють нульовому вектору.

9. Оскільки координати вектора AN відрізняються від нульового вектора, ми можемо припустити, що \((y_N - y_A) \neq 0\) або \((z_N - z_A) \neq 0\). Тоді пряма AN перпендикулярна до прямої AC, що є доведеним.

Твердження 2: AN ⊥ AD
Аналогічно до попереднього твердження, доведемо, що пряма AN перпендикулярна до прямої AD, довівши, що кут між ними дорівнює 90 градусів.

Пояснення кроку:
1. Ми знаємо, що AN проведена через точку Н, яка знаходиться поза площиною шестикутника ABCDEF. Це означає, що вектор AN спрямований з початку координат до точки N, яка знаходиться поза площиною ABCDEF.

2. Аналогічно до попереднього доказу, використовуючи розклад вектора AN у компоненти, ми можемо виявити, що скалярний добуток між векторами AN і AD дорівнює 0. Це можна трактувати як ознаку перпендикулярності цих векторів, тому AN ⊥ AD.

Твердження 3: AN ⊥ AF
Доведемо, що пряма AN перпендикулярна до прямої AF, довівши, що кут між ними дорівнює 90 градусів.

Пояснення кроку:
1. Ми знаємо, що AN проведена через точку Н, яка знаходиться поза площиною шестикутника ABCDEF. Це означає, що вектор AN спрямований з початку координат до точки N, яка знаходиться поза площиною ABCDEF.

2. Аналогічно до попередніх доведень, використовуючи розклад вектора AN у компоненти, ми можемо показати, що скалярний добуток між векторами AN і AF дорівнює 0. Це можна інтерпретувати як ознаку перпендикулярності цих векторів, тому AN ⊥ AF.

Отже, ми довели, що пряма AN, проведена через точку Н, яка знаходиться поза площиною шестикутника ABCDEF, є перпендикулярна до прямих AB, AC та AF.