Что будет радиусом сферы, если все стороны треугольника ABC касаются этой сферы, и расстояние от центра сферы

Roza

56

Привет! Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади треугольника по формуле Герона. Давайте поймем, как это сделать.

Во-первых, давайте найдем полупериметр треугольника ABC. Для этого нужно сложить все стороны треугольника и разделить полученную сумму на 2:

\[p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{3 + 5 + 7}{2} = 7.5 \text{ см}\]

Теперь мы можем использовать этот полупериметр, чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона:

\[s_{\text{треуг}} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)}\]
\[= \sqrt{7.5 \times (7.5 - 3) \times (7.5 - 5) \times (7.5 - 7)}\]
\[= \sqrt{7.5 \times 4.5 \times 2.5 \times 0.5}\]
\[= \sqrt{42.1875} \approx 6.49 \text{ см}^2\]

Зная площадь треугольника, мы можем связать ее с радиусом сферы. Радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника, связан с его площадью следующим образом:

\[s_{\text{треуг}} = \frac{abc}{4R}\]

Где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(R\) - радиус сферы.

Подставим известные значения:

\[6.49 = \frac{3 \times 5 \times 7}{4R}\]
\[R = \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 6.49}\]
\[R \approx 5.4 \text{ см}\]

Ответ: Радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC, равен примерно 5.4 см.

Надеюсь, это решение будет понятным и полезным для школьника! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!