Что будет результатом выражения 2sin6a/5cos3a, если sin3a равно 0.8?

Kirill

68

Для начала, нам нужно выразить \( \sin{6a} \) и \( \cos{3a} \) через \( \sin{3a} \), так как у нас есть информация о значении \( \sin{3a} \).

Мы знаем, что есть следующие тригонометрические формулы:
\[
\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}
\]
\[
\sin{3\theta} = 3\sin{\theta} - 4\sin^3{\theta}
\]
\[
\cos{2\theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}
\]

Мы можем использовать эти формулы для нахождения \( \sin{6a} \) и \( \cos{3a} \).

Сначала посчитаем \( \sin{6a} \):
\[
\sin{6a} = \sin{(3a + 3a)} = \sin{3a}\cos{3a} + \cos{3a}\sin{3a}
\]
\[
= 2\sin{3a}\cos{3a} = 2 \cdot 0.8 \cdot \cos{3a}
\]

Теперь посчитаем \( \cos{3a} \):
\[
\cos{3a} = \cos{(2a + a)} = \cos{2a}\cos{a} - \sin{2a}\sin{a}
\]
\[
= (\cos^2{a} - \sin^2{a})\cos{a} - (2\sin{a}\cos{a})\sin{a}
\]
\[
= \cos^3{a} - \sin^2{a}\cos{a} - 2\sin^2{a}\cos{a}
\]
\[
= \cos^3{a} - 3\sin^2{a}\cos{a}
\]

Теперь мы можем подставить выражения для \( \sin{6a} \) и \( \cos{3a} \) в изначальное выражение и решить его:

\[
\frac{2\sin{6a}}{5\cos{3a}} = \frac{2 \cdot 0.8 \cdot \cos{3a}}{5\cos{3a}} = \frac{1.6\cos{3a}}{5\cos{3a}} = \frac{1.6}{5} = 0.32
\]

Итак, результат выражения \( \frac{2\sin{6a}}{5\cos{3a}} \), при условии \( \sin{3a} = 0.8 \), равен 0.32.