Что нужно найти в треугольнике АВС, если АС равно ВС, высота СН равна 6,4, sinA равно 8корень из 89/89?

Magicheskiy_Kot

70

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать тригонометрические соотношения и свойства равнобедренного треугольника. Давайте разберемся пошагово:

1. Поскольку высота СН проведена из вершины треугольника C, она перпендикулярна стороне AB. Так как треугольник ABC является равнобедренным, высота СН делит его на два равных прямоугольных треугольника CHA и CHB.

2. Пусть х - длина стороны AC (или BC, поскольку они равны между собой).

3. Мы знаем, что высота СН равна 6,4. Так как треугольник CHA - прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы CH:

\[CH = \sqrt{CA^2 - AH^2}\]

\[CH = \sqrt{x^2 - (6.4)^2}\]

4. Теперь рассмотрим треугольник CHB. У нас есть информация о значении синуса угла A, равного \(\frac{8\sqrt{89}}{89}\). Синус угла А определяется как отношение противолежащего катета (в нашем случае CH) к гипотенузе треугольника CHB:

\[\sin A = \frac{CH}{HB}\]

\[\frac{8\sqrt{89}}{89} = \frac{\sqrt{x^2 - (6.4)^2}}{HB}\]

5. Теперь мы можем решить это уравнение относительно HB: умножим обе части уравнения на HB и возводим в квадрат:

\[HB \cdot \frac{8\sqrt{89}}{89} = \sqrt{x^2 - (6.4)^2}\]

\[(HB)^2 \cdot \left(\frac{8\sqrt{89}}{89}\right)^2 = x^2 - (6.4)^2\]

\[HB^2 = \frac{x^2 - (6.4)^2}{\left(\frac{8\sqrt{89}}{89}\right)^2}\]

6. Так как треугольник ABC равнобедренный, сторона HB также равна х, поэтому можем заменить HB на х в уравнении выше:

\[x^2 = \frac{x^2 - (6.4)^2}{\left(\frac{8\sqrt{89}}{89}\right)^2}\]

7. Далее, решим это уравнение относительно x. Умножим обе части уравнения на \(\left(\frac{8\sqrt{89}}{89}\right)^2\) и приведем подобные слагаемые:

\[x^2 - \frac{x^2 - (6.4)^2}{\left(\frac{8\sqrt{89}}{89}\right)^2} = 0\]

Затем, вынесем x^2 за скобку:

\[x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{\left(\frac{8\sqrt{89}}{89}\right)^2}\right) - (6.4)^2 = 0\]

8. Возьмем общий знаменатель в скобке и выполним вычисления:

\[x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{\frac{(8\sqrt{89})^2}{89^2}}\right) - (6.4)^2 = 0\]

\[x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{512}\right) - (6.4)^2 = 0\]

\[x^2 \cdot \left(\frac{511}{512}\right) - (6.4)^2 = 0\]

\[x^2 \cdot \frac{511}{512} = (6.4)^2\]

9. Теперь мы можем решить это уравнение относительно x. Поделим обе части на \(\frac{511}{512}\):

\[x^2 = \frac{(6.4)^2}{\frac{511}{512}}\]

\[\frac{x^2}{512} = \frac{(6.4)^2}{511}\]

\[x^2 = \frac{(6.4)^2 \cdot 512}{511}\]

10. Наконец, найдем значение x, взяв квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[x = \sqrt{\frac{(6.4)^2 \cdot 512}{511}}\]

После подстановки выражения в квадратное уравнение найденных значений, получим ответ, который позволяет найти значение стороны треугольника ABC.