Что нужно сделать с графиком функции f(x)= 3x+1/x-5 для нахождения его асимптот?

Yantarka

18

Чтобы найти асимптоты для графика функции \(f(x) = \frac{3x+1}{x-5}\), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите вертикальную асимптоту.
Для этого нужно найти значения \(x\), при которых знаменатель функции \(x-5\) равен нулю. Поставим уравнение \(x-5=0\) и решим его:
\[x = 5\]

Таким образом, у функции существует вертикальная асимптота \(x = 5\).

Шаг 2: Проверьте наличие горизонтальной асимптоты.
Для этого нужно определить пределы функции при стремлении \(x\) к бесконечности и минус бесконечности. Выполним расчеты:

\[\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{3x+1}{x-5} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{5}{x}} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{3+\frac{1}{x}}{1-\frac{5}{x}} = \frac{3+0}{1-0} = 3\]

\[\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{3x+1}{x-5} = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{5}{x}} = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{3+\frac{1}{x}}{1-\frac{5}{x}} = \frac{3+0}{1-0} = 3\]

Итак, у функции существует горизонтальная асимптота \(y = 3\).

Таким образом, для заданного графика функции \(f(x) = \frac{3x+1}{x-5}\) вертикальная асимптота находится при \(x = 5\), а горизонтальная асимптота находится при \(y = 3\).