Что нужно сделать с выражением (4x^3)/(x+2) * (x^2 + 4x + 4)/(8x^2)?

Зайка

40

Давайте разберем эту задачу по шагам:

1. Прежде всего, давайте упростим каждую дробь отдельно.

Для первой дроби, у нас есть выражение \(\frac{{4x^3}}{{x+2}}\). Мы можем разложить числитель на множители: \(4x \cdot x^2\) и заметить, что числитель можно упростить до \(4x \cdot x^2 = 4x^3\). Теперь имеем \(\frac{{4x^3}}{{x+2}}\).

Для второй дроби, у нас есть выражение \(\frac{{x^2 + 4x + 4}}{{8x^2}}\). Мы можем заметить, что числитель - это квадратный трином \((x+2)^2\). Исходя из этого, мы можем упростить выражение до \(\frac{{(x+2)^2}}{{8x^2}}\).

Теперь у нас есть две упрощенные дроби:
\(\frac{{4x^3}}{{x+2}}\) и \(\frac{{(x+2)^2}}{{8x^2}}\).

2. Далее, давайте перемножим эти две дроби.

Умножение дробей происходит путем умножения числителей и знаменателей.

Для числителя: \(4x^3 \cdot (x+2)^2 = 4x^3 \cdot (x+2)(x+2) = 4x^3(x^2+4x+4)\).

Для знаменателя: \((x+2) \cdot 8x^2 = 8x^2(x+2)\).

Получаем:
\(\frac{{4x^3(x^2+4x+4)}}{{8x^2(x+2)}}\).

3. Теперь, давайте проведем сокращение общих множителей.

Обратите внимание, что \(x^2+4x+4\) фактически является квадратом бинома \((x+2)^2\). Таким образом, мы можем сократить это с \(x+2\) в числителе и знаменателе.

Сокращаем \((x+2)\):
\(\frac{{4x^3(x+2)(x+2)}}{{8x^2(x+2)}}\).

После сокращения, получаем:
\(\frac{{4x^3(x+2)}}{{8x^2}}\).

4. Наконец, давайте упростим получившуюся дробь.

Мы можем сократить числитель и знаменатель на 4:
\(\frac{{x^3(x+2)}}{{2x^2}}\).

Это окончательный ответ.

Таким образом, выражение \(\frac{{4x^3}}{{x+2}} \cdot \frac{{x^2 + 4x + 4}}{{8x^2}}\) можно упростить до \(\frac{{x^3(x+2)}}{{2x^2}}\).