Что представляет собой область определения функции f(x)=x+2/x^2+x-20?

Водопад_1460

61

Для того чтобы найти область определения функции \(f(x)\), нам нужно определить все значения \(x\) для которых функция определена. Существуют некоторые ограничения на значения \(x\), которые могут принимать знаменатель и радикалы в выражении функции.

В данной функции у нас есть две особенности, которые нужно учитывать: знаменатель \(x^2+x-20\) и корень квадратный.

Посмотрим сначала на знаменатель \(x^2+x-20\). Чтобы определить значения \(x\), для которых знаменатель не равен нулю, мы должны исключить значения \(x\), которые делают знаменатель равным нулю. Решим уравнение \(x^2+x-20=0\), чтобы найти такие значения \(x\).

Используя факторизацию или квадратное уравнение, мы можем разложить данное квадратное уравнение на два множителя:
\((x+5)(x-4)=0\).

Теперь найдем такие значения \(x\), которые делают знаменатель равным нулю:
\[
x+5=0 \quad \text{или} \quad x-4=0
\]
Отсюда найдем два значения \(x\) для которых знаменатель обращается в нуль:
\[
x=-5 \quad \text{или} \quad x=4
\]

Теперь нужно определить значения \(x\), для которых выражение под корнем является неотрицательным (т.е. чтобы радикал не принимал отрицательных значений). В нашем уравнении у нас нет возведения в квадрат и деления на переменную, поэтому выражение под корнем всегда будет неотрицательным. Следовательно, мы можем рассматривать любые значения \(x\) для радикала.

Таким образом, область определения функции \(f(x)\) будет состоять из всех действительных чисел, за исключением двух значений \(x=-5\) и \(x=4\). Область определения можно записать следующим образом:
\[
D(f) = \{x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq -5, x \neq 4\}
\]