Что такое разность, первый элемент и сумма первых 11 элементов арифметической прогрессии (An)? Если a6 = 10 и a9

Евгеньевна

30

Разность арифметической прогрессии (d) - это постоянное число, которое добавляется к каждому предыдущему элементу, чтобы получить следующий элемент. В математической записи, разность обозначается как \(d\).

\textbf{Первый элемент} арифметической прогрессии (a1) - это значение первого элемента прогрессии. Обозначается как \(a_1\).

\textbf{Сумма первых 11 элементов} арифметической прогрессии - это сумма значений первых 11 элементов прогрессии. Обозначается как \(S_{11}\).

Чтобы найти разность, первый элемент и сумму первых 11 элементов арифметической прогрессии, нам необходимо использовать информацию о значениях шестого (a6) и девятого (a9) элементов прогрессии.

Для начала, давайте найдем разность (d).

Мы знаем, что \(a_6 = 10\) и \(a_9 = 25\).

Формула для общего члена арифметической прогрессии \(a_n\) выглядит следующим образом:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Мы можем использовать эту формулу, чтобы составить систему из двух уравнений и двух неизвестных:

Уравнение для шестого элемента:
\[a_6 = a_1 + 5d = 10\]

Уравнение для девятого элемента:
\[a_9 = a_1 + 8d = 25\]

Проще всего начать с уравнения для шестого элемента. Мы можем выразить \(a_1\) через \(d\) и подставить его во второе уравнение:

\[a_1 = 10 - 5d\]

Подставляем это в уравнение для девятого элемента:

\[10 - 5d + 8d = 25\]

Упрощаем уравнение:

\[3d = 15\]

Делим обе части на 3:

\[d = 5\]

Теперь, когда у нас есть значение разности (d), мы можем найти первый элемент (a1). Воспользуемся уравнением для шестого элемента:

\[a_1 + 5 \cdot 5 = 10\]

Упрощаем уравнение:

\[a_1 + 25 = 10\]

Вычитаем 25 из обеих частей:

\[a_1 = -15\]

Таким образом, первый элемент арифметической прогрессии равен -15.

Наконец, давайте найдем сумму первых 11 элементов (S11) арифметической прогрессии. Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

Подставляем значения:

\[S_{11} = \frac{11}{2}(2 \cdot (-15) + (11-1) \cdot 5)\]

Упрощаем уравнение:

\[S_{11} = \frac{11}{2}(-30 + 10 \cdot 5)\]

После дальнейших упрощений мы получим:

\[S_{11} = \frac{11}{2}(-30 + 50)\]

\[S_{11} = \frac{11}{2}(20)\]

\[S_{11} = 11 \cdot 10\]

\[S_{11} = 110\]

Таким образом, сумма первых 11 элементов арифметической прогрессии равна 110.

Итак, чтобы подвести итог:
- Разность арифметической прогрессии (d) равна 5;
- Первый элемент арифметической прогрессии (a1) равен -15;
- Сумма первых 11 элементов арифметической прогрессии (S11) равна 110.

Учитывая, что разность положительная, а сумма первых 11 элементов превышает 100, мы можем сказать, что прогрессия возрастающая.