Что такое значение выражения cos^2β+sinβ/2+sin^2β, если известно, что cosβ=-29/47 и β∈(π;3π/2)?

Romanovich

22

Хорошо, давайте посмотрим, как найти значение данного выражения. У нас дано, что \(\cos \beta = -\frac{29}{47}\), а значение \(\beta\) находится в интервале \((\pi, \frac{3\pi}{2})\).

Для начала, мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), которое позволит нам избавиться от квадратов \(\cos \beta\) и \(\sin \beta\).

Применим это тождество к выражению \(\cos^2 \beta + \sin \frac{\beta}{2} + \sin^2 \beta\):

\(\cos^2 \beta + \sin \frac{\beta}{2} + \sin^2 \beta = 1 + \sin \frac{\beta}{2} + 1 - \cos^2 \beta\).

Теперь подставим значение \(\cos \beta\):

\(1 + \sin \frac{\beta}{2} + 1 - \cos^2 \beta = 1 + \sin \frac{\beta}{2} + 1 - \left(-\frac{29}{47}\right)^2\).

Выполним расчеты:

\(1 + \sin \frac{\beta}{2} + 1 - \left(-\frac{29}{47}\right)^2 = 2 + \sin \frac{\beta}{2} - \frac{841}{2209}\).

Осталось найти значение функции \(\sin \frac{\beta}{2}\). Для этого мы можем воспользоваться половинным углом.

Воспользуемся формулой половинного угла для синуса: \(\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{2}}\).

Подставим значение \(\cos \beta\):

\(\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{29}{47}\right)}{2}}\).

Выполним расчеты:

\(\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{29}{47}}{2}}\).

Продолжим вычисления:

\(\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{76}{47 \cdot 2}}\).

\(\sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{76}{94}}\).

\(\sin \frac{\beta}{2} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}}\).

Теперь, когда у нас есть значение \(\sin \frac{\beta}{2}\), мы можем подставить его в исходное выражение:

\(2 + \sin \frac{\beta}{2} - \frac{841}{2209} = 2 + \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}} - \frac{841}{2209}\).

Давайте продолжим вычисления:

\(2 + \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}} - \frac{841}{2209} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}} + \frac{2\cdot47^2 - 841}{47^2}\).

Упростим числитель:

\(\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}} + \frac{2\cdot47^2 - 841}{47^2} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}} + \frac{2\cdot2209 - 841}{47^2}\).

\(\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{94}} + \frac{4418 - 841}{47^2} = \frac{2\sqrt{19} + 3577}{47^2}\).

Таким образом, мы получаем окончательный ответ:

\[\frac{2\sqrt{19} + 3577}{47^2}.\]

Надеюсь, что все понятно. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.