Найдите значения углов, образуемых вектором и координатными векторами с ( -1/2; 1/2 ; 1/v2), и предоставьте подробное

Zagadochnyy_Magnat

57

Для начала, давайте разберемся с определением вектора и координатных векторов. Вектор – это математический объект, который имеет величину и направление. Он может быть задан парой координат (x, y) или (x, y, z), в зависимости от размерности пространства. Координатные векторы – это векторы, которые соответствуют основным осям координатной системы.

Теперь решим вашу задачу. Для этого найдем значение скалярного произведения вектора и каждого из координатных векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется по формуле:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}| \cdot \cos(\theta) \]

где \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) – векторы, \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\) – их длины, а \(\theta\) – угол между ними.

Для начала, найдем значение скалярного произведения вектора и координатного вектора \(\mathbf{i}\) (оси \(x\)):

\[
\begin{align*}
\mathbf{v} \cdot \mathbf{i} &= \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 1 + \left( \frac{1}{2} \right) \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 \\
&= -\frac{1}{2}
\end{align*}
\]

Далее, найдем значение скалярного произведения вектора и координатного вектора \(\mathbf{j}\) (оси \(y\)):

\[
\begin{align*}
\mathbf{v} \cdot \mathbf{j} &= \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 0 + \left( \frac{1}{2} \right) \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 \\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}
\]

И, наконец, найдем значение скалярного произведения вектора и координатного вектор \(\mathbf{k}\) (оси \(z\)):

\[
\begin{align*}
\mathbf{v} \cdot \mathbf{k} &= \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 0 + \left( \frac{1}{2} \right) \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}
\]

Теперь, когда мы нашли значения скалярных произведений, можем найти значения углов. Для этого воспользуемся формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{|\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{u}|} \]

где \(\mathbf{u}\) – второй вектор с которым мы сравниваем, а \(\theta\) – угол между ними.

Начнем с угла между вектором \(\mathbf{v}\) и координатным вектором \(\mathbf{i}\):

\[ \cos(\theta_{xi}) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{i}}{|\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{i}|} = \frac{-1/2}{\sqrt{(-1/2)^2 + (1/2)^2 + (1/\sqrt{2})^2}} \]

\[ \cos(\theta_{xi}) = \frac{-1/2}{\sqrt{1/4 + 1/4 + 1/2}} = \frac{-1/2}{\sqrt{3/4 + 1/2}} = \frac{-1/2}{\sqrt{5/4}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \]

Используя обратную функцию косинуса (арккосинус), найдем значение самого угла \(\theta_{xi}\):

\[ \theta_{xi} = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 120^\circ \]

Аналогично рассмотрим углы \(\theta_{yj}\) и \(\theta_{zk}\) между вектором \(\mathbf{v}\) и координатными векторами \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\):

\[ \theta_{yj} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 45^\circ \]

\[ \theta_{zk} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 45^\circ \]

Таким образом, значения углов между вектором \(\mathbf{v}\) и координатными векторами \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) равны соответственно: 120°, 45° и 45°.