Что такое значение выражения, если основания разные, но показатели одинаковые: 5log7 98 / 5log7

Баронесса

28

Конечно! Для начала, давайте разберемся с логарифмами. Логарифм — это функция, обратная к возведению числа в степень. Логарифм с основанием \(a\) от числа \(b\) записывается как \(\log_a b\). Он означает "какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\)". В данном случае, у нас есть логарифмы с основанием 7, и мы хотим найти значение выражения:

\[
\frac{{5\log_7 98}}{{5\log_7}}
\]

Поскольку основания разные, мы не можем просто сократить логарифмы, как делаем с обычными дробями. Однако, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения этого выражения.

Первое свойство, которое нам пригодится, — это свойство произведения логарифмов. Если у нас есть логарифм произведения двух чисел, он может быть записан как сумма логарифмов этих чисел. То есть:

\[
\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y
\]

В нашей задаче, числительом является \(5\log_7 98\). Мы можем его раскрыть с помощью свойства произведения:

\[
5\log_7 98 = \log_7 (98^5)
\]

Теперь, давайте разберемся с знаменателем, \(5\log_7\). Здесь мы имеем логарифм без указания числа под логарифмом. В таких случаях, по умолчанию, подразумевается, что числом является 10. То есть \(5\log_7 = 5\log_{10} 7\).

Теперь, вернемся к нашему исходному выражению:

\[
\frac{{5\log_7 98}}{{5\log_7}} = \frac{{\log_7 (98^5)}}{{\log_{10} 7}}
\]

Мы видим, что \(5\log_7\) в знаменателе сократились с \(5\log_7 98\) в числителе, поэтому осталось только \(\log_7 (98^5)\) в числителе. Чтобы продолжить упрощение, нам необходимо знать значение \(\log_7 (98^5)\).

Мы можем записать \(\log_7 (98^5)\) как экспоненту, используя определение логарифма:

\[
7^{\log_7 (98^5)} = 98^5
\]

Таким образом, значение выражения равно \(98^5\). Это число можно вычислить, используя калькулятор или программу для работы с большими числами.

Я надеюсь, что я был достаточно подробен и обосновал каждый шаг. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!