Чтобы максимизировать площадь прямоугольника, какая должна быть длина его сторон, если проволока имеет длину 48 метров

Yakor_7804

52

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. При максимизации площади прямоугольника, нам необходимо найти значения его сторон, при которых производная площади по каждой стороне равна нулю.

Обозначим длину одной стороны прямоугольника через \(x\), а длину второй стороны через \(y\). По условию задачи, у нас имеется проволока длиной 48 метров, которая может быть сгнута. Это означает, что периметр прямоугольника составляет 48 метров:

\(2x + 2y = 48\)

Мы можем выразить одну из переменных через другую, чтобы получить функцию площади. Для простоты, давайте выразим \(y\) через \(x\):

\(y = 24 - x\)

Теперь мы можем выразить площадь прямоугольника через переменную \(x\):

\(S = x(24 - x)\)

Для максимизации площади, найдем производную площади по \(x\) и приравняем ее к нулю:

\(\frac{{dS}}{{dx}} = 24 - 2x = 0\)

Теперь решим полученное уравнение:

\(24 - 2x = 0\)

\(2x = 24\)

\(x = 12\)

Таким образом, значение переменной \(x\) равно 12 метров. Чтобы найти значение переменной \(y\), подставим \(x\) в уравнение \(y = 24 - x\):

\(y = 24 - 12 = 12\)

Таким образом, значения длин сторон прямоугольника для максимизации его площади будут равны 12 метров и 12 метров.

Обоснование: Мы использовали метод дифференциального исчисления, рассмотрели условие задачи, нашли выражение для площади прямоугольника и производную этой функции. Затем, приравняли производную к нулю и решили полученное уравнение, найдя значения переменных \(x\) и \(y\). Таким образом, мы получили значения длин сторон прямоугольника, при которых его площадь будет максимальной.