Дано: f(x)={x2−1,еслиx∈[−3;2] __ √x−1+2,еслиx∈(2;5] Построить график данной функции. Найти интервалы, на которых

Путник_С_Камнем

52

Чтобы построить график данной функции, необходимо разделить область определения на два интервала: [-3, 2] и (2, 5].

На интервале [-3, 2] функция определена как f(x) = x^2 - 1. Для отрицательных значений x функция будет убывать, а для положительных - возрастать.

На интервале (2, 5] функция определена как f(x) = √(x - 1) + 2. На этом интервале функция будет возрастать.

Теперь определим экстремумы функции. Для этого найдем точки, в которых производная функции равна нулю. Для первого интервала [-3, 2] производная равна 2x, которая равна нулю при x = 0. Таким образом, в точке x = 0 будет находиться экстремум функции. Для второго интервала производная равна 1/(2√(x - 1)), которая не обращается в ноль ни на каком интервале.

Находим наибольшее и наименьшее значения функции. На первом интервале [-3, 2] наибольшее значение достигается в точке x = 2, а наименьшее - в точке x = -3. На втором интервале (2, 5] функция возрастает и наибольшего и наименьшего значения не имеет.

В определении функции видно, что функция сохраняет один и тот же знак на каждом из интервалов:
- На первом интервале [-3, 2] функция положительна для положительных значений x и отрицательна для отрицательных значений x.
- На втором интервале (2, 5] функция всегда положительна, так как корень и слагаемое 2 всегда положительны.

Чтобы определить четность функции, рассмотрим симметрию графика относительно оси OY. При замене x на -x значение f(x) не изменится, поэтому функция является четной.

Найдем нули функции. На первом интервале [-3, 2] нули функции можно найти, приравняв выражение x^2 - 1 к нулю и решив уравнение. Получаем x = -1 и x = 1. На втором интервале (2, 5] нулями функции являются значения, при которых выражение под корнем равно нулю. Решая уравнение x - 1 = 0, получаем x = 1.

Теперь найдем точки пересечения с осями x и y. При x = 0 функция на первом интервале принимает значение -1, а на втором интервале - значение 3. Таким образом, точка пересечения с осью y будет равна (0, -1) на первом интервале и (0, 3) на втором интервале. Учитывая точку (-1, 0) на первом интервале и (1, 0) на обоих интервалах, получаем точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (1, 0).

Таким образом, график функции будет иметь следующий вид:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$f(x)$},
grid = both,
xmin = -5,
xmax = 6,
ymin = -2,
ymax = 4,
xtick = {-4,...,5},
ytick = {-2,...,4},
]
\addplot[color=blue,domain=-3:2,samples=100]{x^2-1};
\addplot[color=blue,domain=2:5,samples=100]{sqrt(x-1)+2};
\draw [fill=blue] (-1,0) circle (2pt);
\draw [fill=blue] (1,0) circle (2pt);
\draw [fill=blue] (0,-1) circle (2pt);
\draw [fill=blue] (0,3) circle (2pt);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам лучше понять задачу и решение. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!