Дано: f(x)={x2+2x,еслиx∈[−4;1]x−√+2,еслиx∈(1;4] Постройте график данной функции. Найдите интервалы, на которых функция

Sambuka

60

Хорошо, давайте рассмотрим данную функцию и найдем все необходимые значения и интервалы.

Для начала, давайте построим график данной функции.

Функция \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \in [-4, 1] \\ x - \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \in (1, 4] \end{cases}\)

Для построения графика разобьем функцию на два случая в зависимости от значения \(x\).

Первый случай: \(x \in [-4, 1]\)

На данном промежутке функция задана как \(f(x) = x^2 + 2x\). Найдем значения функции для нескольких точек и построим график.

Для \(x = -4\): \(f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8\)

Для \(x = 0\): \(f(0) = 0^2 + 2(0) = 0\)

Для \(x = 1\): \(f(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3\)

Теперь построим график на промежутке \([-4, 1]\) с этими точками:

\[график\]

Второй случай: \(x \in (1, 4]\)

На данном промежутке функция задана как \(f(x) = x - \sqrt{x} + 2\). Найдем значения функции для нескольких точек и добавим их к уже построенному графику.

Для \(x = 2\): \(f(2) = 2 - \sqrt{2} + 2 \approx 3.59\)

Для \(x = 4\): \(f(4) = 4 - \sqrt{4} + 2 = 4 - 2 + 2 = 4\)

Теперь построим график на промежутке \((1, 4]\) с этими точками и добавим его к ранее построенному графику:

\[график\]

Теперь, когда у нас есть график функции, найдем все необходимые значения и интервалы:

1. Интервалы возрастания и убывания функции:

На интервале \((-1, 4)\) функция возрастает, так как график поднимается.

На интервале \([-4, -1]\) функция убывает, так как график опускается.

2. Экстремумы функции:

Чтобы найти экстремумы функции \(f(x)\), нужно найти точки, в которых функция меняет свой знак. Давайте рассмотрим график и найдем эти точки:

\[график с указанными экстремумами\]

У функции есть минимум в точке \(x = -1\) и максимум в точке \(x = 2\).

3. Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наименьшее значение функции достигается в точке \(x = -1\), тогда \(f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1\).

Наибольшее значение функции достигается в точке \(x = 4\), тогда \(f(4) = 4 - \sqrt{4} + 2 = 4 - 2 + 2 = 4\).

4. Интервалы, на которых функция имеет постоянный знак:

На интервале \([-4, -1)\) функция имеет постоянный знак \(f(x) < 0\).

На интервале \((-1, 1)\) функция имеет постоянный знак \(f(x) > 0\).

На интервале \((1, 4]\) функция имеет постоянный знак \(f(x) > 0\).

5. Четность функции:

Функция \(f(x)\) не является четной или нечетной, так как не выполняется условие \(f(-x) = f(x)\) или \(f(-x) = -f(x)\).

6. Нули функции:

Нули функции - это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). Чтобы найти нули функции, нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение.

Для первого случая: \(x^2 + 2x = 0\)

Решим это уравнение:

\[x(x + 2) = 0\]

Отсюда видно, что нули функции на интервале \([-4, 1]\) - это \(x = 0\) и \(x = -2\).

Для второго случая: \(x - \sqrt{x} + 2 = 0\)

Решим это уравнение:

\[\sqrt{x} = x + 2\]

\[x = (x + 2)^2\]

\[x^2 = x^2 + 4x + 4\]

\[4x + 4 = 0\]

\[x = -1\]

Получили, что нуль функции на интервале \((1, 4]\) - это \(x = -1\).

Точки пересечения с осями \(x\) и \(y\):

Для первого случая:

Функция пересекает ось \(x\) при \(x = 0\) и \(x = -2\).

Функция пересекает ось \(y\) при \(y = f(0) = 0\) и \(y = f(-2) = 0\).

Для второго случая:

Функция пересекает ось \(x\) при \(x = -1\).

Функция пересекает ось \(y\) при \(y = f(-1) = -1\).

Итак, мы проанализировали функцию \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \in [-4, 1] \\ x - \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \in (1, 4] \end{cases}\) и нашли интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, интервалы постоянного знака, нули функции и точки пересечения с осями \(x\) и \(y\).