Дано: f(x)={x2+4x+3, если x принадлежит [-5;0] x+1-√+2, если x принадлежит (0;3]. Постройте график данной функции

Blestyaschaya_Koroleva

55

Для начала давайте построим график данной функции. Для этого мы разобьем ось x на интервалы, где функция определена по-разному.

На интервале [-5;0] функция f(x) равна \(x^2 + 4x + 3\), а на интервале (0;3] функция f(x) равна \(x + 1 - \sqrt{x+2}\).

Давайте начнем с нахождения точек пересечения с осями x и y.

Для этого мы должны решить уравнение \(f(x) = 0\). Найдем нули функции.

На интервале [-5;0] уравнение \(x^2 + 4x + 3 = 0\) имеет следующие корни:

\[
x_1 = -3
\]
\[
x_2 = -1
\]

На интервале (0;3] уравнение \(x + 1 - \sqrt{x+2} = 0\) имеет следующий корень:

\[
x = 2
\]

Теперь давайте найдем экстремумы функции. Для этого необходимо найти значения функции в крайних точках интервалов и в точке экстремума.

На интервале [-5;0] найдем значение функции в точке x = -5:

\[
f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8
\]

Значение функции в точке x = 0:

\[
f(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3
\]

На интервале (0;3] найдем значение функции в точке x = 3:

\[
f(3) = 3 + 1 - \sqrt{3+2} = 3 + 1 - \sqrt{5} \approx 3 + 1 - 2.236 = 1.764
\]

Теперь определим, когда функция возрастает и убывает. Функция возрастает, если производная функции положительна, и убывает, если производная функции отрицательна.

На интервале [-5;0] производная функции равна:

\[
f"(x) = 2x + 4
\]

На интервале (0;3] производная функции равна:

\[
f"(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x+2}}
\]

Давайте найдем точки, где производная равна нулю и определим знаки производной в окрестностях этих точек.

На интервале [-5;0] производная равна нулю при x = -2. Проверим знак производной в окрестности этой точки.

Подставим x = -3 в производную функции:

\[
f"(-3) = 2(-3) + 4 = -2
\]

Таким образом, на интервале [-5;-2) функция убывает, а на интервале (-2;0] функция возрастает.

На интервале (0;3] производная равна нулю при x = 2. Проверим знак производной в окрестности этой точки.

Подставим x = 1 в производную функции:

\[
f"(1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1+2}} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3}} > 0
\]

Таким образом, на интервале (0;3] функция возрастает.

Теперь определим наибольшее и наименьшее значения функции. Наибольшим значением функции будет максимум, если он существует, и в другом случае - значение функции в точке с максимальным абсолютным значением. Аналогично, наименьшим значением функции будет минимум, если он существует, и в другом случае - значение функции в точке с минимальным абсолютным значением.

На интервале [-5;0] максимума и минимума у функции нет. На интервале (0;3] функция неограничена, поэтому максимального значения нет, но значение функции в точке x = 2 является минимальным:

\[
f(2) = 2 + 1 - \sqrt{2+2} = 2 + 1 - \sqrt{4} = 2 + 1 - 2 = 1
\]

Теперь определим интервалы, на которых функция имеет постоянный знак. Функция имеет положительный знак, если она больше нуля, и отрицательный знак, если она меньше нуля.

На интервале [-5;0] функция положительна при x < -3, отрицательна при -3 < x < 0.

На интервале (0;3] функция положительна при x > 2, отрицательна при 0 < x < 2.

Теперь определим четность функции. Функция является четной, если выполняется условие f(x) = f(-x), и нечетной, если выполняется условие f(x) = -f(-x).

На интервале [-5;0] функция не является ни четной, ни нечетной, так как не выполняется условие ни для четности, ни для нечетности.

На интервале (0;3] функция не является ни четной, ни нечетной, так как не выполняется условие ни для четности, ни для нечетности.

Итак, чтобы построить график функции, мы должны учесть все найденные характеристики.

У нас есть следующая информация:

1. Точки пересечения с осями координат:
- Точки пересечения с осью x: -3, -1, 2
- Точки пересечения с осью y: 8, 3, 1

2. Интервалы возрастания и убывания:
- Функция возрастает на интервале [-2;3] и (-2;3)
- Функция убывает на интервале [-5;-2) и (-5;-3)

3. Нули функции:
- Нули функции на интервале [-5;0] -3, -1
- Нуль функции на интервале (0;3] 2

4. Экстремумы функции:
- Минимум функции в точке x = 2, значение функции равно 1.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции:
- Наибольшего значения функции нет
- Наименьшее значение функции 1 в точке x = 2

6. Интервалы постоянного знака:
- Положительный знак на интервале (-\infty;-3) и (-1;0)
- Отрицательный знак на интервале (-3;-1) и (0;\infty)

7. Четность функции:
- Функция не является ни четной, ни нечетной.

Используя всю эту информацию, мы можем построить график функции.