1. Какой числовой элемент будет находиться на девятой позиции в арифметической прогрессии с первым элементом

Магнитный_Магнат

48

1. Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В данной задаче имеем первый член \(a_1 = -65\) и разность \(d = 6\). Найдем значение 9-го члена \(a_9\):

\[a_9 = -65 + (9-1) \cdot 6\]
\[a_9 = -65 + 8 \cdot 6\]
\[a_9 = -65 + 48\]
\[a_9 = -17\]

Таким образом, числовой элемент на девятой позиции в арифметической прогрессии будет равен -17.

2. Чтобы найти значение первого члена арифметической прогрессии, мы также можем использовать формулу общего члена \(a_n = a_1 + (n-1)d\). В данном случае нам известно, что второй член \(a_2\) равен 153 и разность \(d\) равна 6.

Подставим это в формулу:

\[a_2 = a_1 + (2-1)d\]
\[153 = a_1 + d\]
\[a_1 = 153 - d\]
\[a_1 = 153 - 6\]
\[a_1 = 147\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 147.

3. Для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - n-й член.

В данной задаче первый элемент \(a_1 = -14\) и тридцатый элемент \(a_{30} = 29.5\). Требуется найти сумму первых 30 членов \(S_{30}\).

Подставим значения в формулу:

\[S_{30} = \frac{30}{2}(-14 + 29.5)\]
\[S_{30} = 15 \cdot 15.5\]
\[S_{30} = 232.5\]

Таким образом, сумма первых тридцати членов арифметической прогрессии равна 232.5.

4. Для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии мы также можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

В данной задаче имеем последовательность элементов прогрессии -33, -29, ...

Чтобы найти первый член \(a_1\) и разность \(d\), нам нужно вычислить следующие члены. Заметим, что каждый следующий член отличается на 4 от предыдущего.

Первые 6 элементов прогрессии: -33, -29, -25, -21, -17, -13.

Теперь, используя формулу суммы арифметической прогрессии, найдем сумму первых 6 членов \(S_6\):

\[S_6 = \frac{6}{2}(-33 + (-33 + (6-1)4))\]
\[S_6 = 3(-33 - 33 + 5 \cdot 4)\]
\[S_6 = 3(-66 + 20)\]
\[S_6 = 3 \cdot -46\]
\[S_6 = -138\]

Таким образом, сумма первых шести числовых элементов арифметической прогрессии равна -138.

5. Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии по известному элементу можно использовать формулу общего члена \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

В данном случае нам известно, что двенадцатый элемент \(a_{12}\) равен 48, а требуется найти первый член \(a_1\) и разность \(d\).

Подставим значения в формулу для двенадцатого элемента:

\[48 = a_1 + (12-1)d\]
\[48 = a_1 + 11d\]

У нас нет дополнительной информации, поэтому мы не можем однозначно определить значения \(a_1\) и \(d\). В этом случае задача имеет бесконечное количество решений.