Дано: f(x)={x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1]x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2] Нарисуйте график данной функции. Найдите интервалы, на которых

  • 50
Дано: f(x)={x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1]x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2] Нарисуйте график данной функции. Найдите интервалы, на которых функция возрастает и убывает, экстремумы (максимумы и минимумы) функции, наибольшее и наименьшее значение функции, интервалы, на которых функция принимает постоянный знак, четность, корни функции и точки пересечения с осями x и y. 1. Интервал возрастания функции: x∈[−3;2] x∈(−2;2) x∈(−3;2) Интервал убывания функции: x∈[−6;−3] x∈(−6;−3) x∈[−6;−3) x∈(−6;−4) 2. Экстремум функции: f( ) = . Это минимум функции
Diana_4074
45
Для начала нарисуем график данной функции. Мы имеем два участка функции в зависимости от значения x.

На интервале [6;1] функция имеет вид f(x)=x2+6x+8, а на интервале (1;2] функция выглядит как f(x)=x+2+2.

Давайте построим график по частям.

На интервале [6;1]:
1. Найдем корни данного уравнения x2+6x+8=0. Воспользуемся квадратным трехчленом: D=b24ac=36418=3632=4. Корни уравнения будут выражаться следующим образом: x=b±D2a. Раскроем скобки и решим данный квадратный трехчлен: x=6±42=6±22=4 или -2.

2. Таким образом, на интервале [6;1] у нас имеются две фазы функции: "вниз - вверх - вниз". Мы имеем экстремум - минимум функции f(x), так как функция меняет направление от возрастания к убыванию. Ми наблюдаем минимум функции, так как внизу у "вниз - вверх - вниз" есть "вверх - вниз".

На интервале [1;2]:
1. Теперь найдем корень для данного уравнения x+2=0. Решим простое уравнение и найдем значение x: x=2.

2. На данном интервале у нас нет экстремумов, так как функция постоянно возрастает.

Теперь построим график, учитывая все вышеуказанные результаты, и отметим всю информацию по нему.

График:
f(x)={x2+6x+8,если x[6;1]x+2+2,если x(1;2]

x64212f(x)20243

Теперь давайте ответим на все вопросы:

1. Интервал возрастания функции: x[3;2].
2. Интервал убывания функции: x[6;3).
3. Экстремум функции: f(4)=0. Это минимум функции.
4. Наибольшее значение функции: максимум функции на данном графике отсутствует.
5. Наименьшее значение функции: минимум функции равен 0.
6. Интервалы, на которых функция принимает постоянный знак: на интервале [6;3) функция всегда положительна, а на интервале [3;2] функция всегда отрицательна.
7. Четность функции: данная функция не является четной или нечетной.
8. Корни функции: корни функции находятся в точках x = -4 и x = -2.
9. Точки пересечения с осями x и y: с осью X функция пересекает в точках x = -4 и x = -2, а с осью Y - в точке y = 2.

Надеюсь, я смог дать максимально подробное и понятное объяснение. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!