Дано: f(x)={x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1]x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2] Нарисуйте график данной функции. Найдите интервалы, на которых

Diana_4074

45

Для начала нарисуем график данной функции. Мы имеем два участка функции в зависимости от значения x.

На интервале \([-6;-1]\) функция имеет вид \(f(x) = x^2 + 6x + 8\), а на интервале \((-1;2]\) функция выглядит как \(f(x) = \sqrt{x + 2} + 2\).

Давайте построим график по частям.

На интервале \([-6;-1]\):
1. Найдем корни данного уравнения \(x^2 + 6x + 8 = 0\). Воспользуемся квадратным трехчленом: \(D = b^2 - 4ac = 36 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\). Корни уравнения будут выражаться следующим образом: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Раскроем скобки и решим данный квадратный трехчлен: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} = -4\) или -2.

2. Таким образом, на интервале \([-6;-1]\) у нас имеются две фазы функции: "вниз - вверх - вниз". Мы имеем экстремум - минимум функции \(f(x)\), так как функция меняет направление от возрастания к убыванию. Ми наблюдаем минимум функции, так как внизу у "вниз - вверх - вниз" есть "вверх - вниз".

На интервале \([-1;2]\):
1. Теперь найдем корень для данного уравнения \(x + 2 = 0\). Решим простое уравнение и найдем значение x: \(x = -2\).

2. На данном интервале у нас нет экстремумов, так как функция постоянно возрастает.

Теперь построим график, учитывая все вышеуказанные результаты, и отметим всю информацию по нему.

График:
\[f(x) = \begin{cases}
x^2 + 6x + 8, & \text{если } x \in [-6;-1] \\
\sqrt{x + 2} + 2, & \text{если } x \in (-1;2]
\end{cases}\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -6 & -4 & -2 & -1 & 2 \\
\hline
f(x) & 2 & 0 & 2 & 4 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте ответим на все вопросы:

1. Интервал возрастания функции: \(x \in [-3;2]\).
2. Интервал убывания функции: \(x \in [-6;-3)\).
3. Экстремум функции: \(f(-4) = 0\). Это минимум функции.
4. Наибольшее значение функции: максимум функции на данном графике отсутствует.
5. Наименьшее значение функции: минимум функции равен 0.
6. Интервалы, на которых функция принимает постоянный знак: на интервале \([-6;-3)\) функция всегда положительна, а на интервале \([-3;2]\) функция всегда отрицательна.
7. Четность функции: данная функция не является четной или нечетной.
8. Корни функции: корни функции находятся в точках x = -4 и x = -2.
9. Точки пересечения с осями x и y: с осью X функция пересекает в точках x = -4 и x = -2, а с осью Y - в точке y = 2.

Надеюсь, я смог дать максимально подробное и понятное объяснение. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!