Яким є кількість членів геометричної прогресії, якщо знаменник прогресії дорівнює 1/3, четвертий член - 1/54, а сума

Alena

28

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии и систему уравнений, чтобы определить количество членов прогрессии и другие неизвестные значения.

Пусть \( a \) - первый член прогрессии, а \( q \) - знаменатель прогрессии. Мы знаем, что \( q = \frac{1}{3} \) и четвертый член равен \( a_4 = \frac{1}{54} \).

Используя формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии, получаем:

\[
S_n = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1}
\]

Мы также знаем, что сумма всех членов прогрессии равна \( S_n = \frac{121}{162} \).

Теперь мы можем построить систему уравнений и решить ее, чтобы найти значения \( a \) и \( n \):

\[
\begin{align*}
\frac{a(q^n - 1)}{q - 1} &= \frac{121}{162} \quad \text{(1)} \\
a_4 &= \frac{1}{54} \quad \text{(2)} \\
q &= \frac{1}{3} \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]

Решим систему уравнений:

Из уравнения (3) получаем \( q = \frac{1}{3} \).

Из уравнения (2) мы знаем, что \( a_4 = \frac{1}{54} \), поэтому мы можем записать:

\[
\frac{a \left(\frac{1}{3}\right)^4 - 1}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{54}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{a \cdot \frac{1}{81} - 1}{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{54}
\]

Умножим обе стороны на \(-\frac{2}{3}\) и перевернем дробь:

\[
a \cdot \frac{2}{27} - 1 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{54}
\]

Теперь выразим \( a \):

\[
a \cdot \frac{2}{27} = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{54}
\]

\[
a \cdot \frac{2}{27} = 1 - \frac{1}{81}
\]

\[
a \cdot \frac{2}{27} = \frac{80}{81}
\]

\[
a = \frac{\frac{80}{81}}{\frac{2}{27}}
\]

\[
a = \frac{80}{81} \cdot \frac{27}{2}
\]

\[
a = \frac{40}{1}
\]

\[
a = 40
\]

Таким образом, первый член прогрессии \( a = 40 \).

Теперь используем уравнение (1), чтобы найти количество членов прогрессии \( n \):

\[
\frac{40 \left(\left(\frac{1}{3}\right)^n - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{121}{162}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{40 \left(\frac{1}{3^n} - 1\right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{121}{162}
\]

Перевернем дробь и умножим обе стороны на \(-\frac{2}{3}\):

\[
\frac{40 \left(1 - \frac{1}{3^n}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{162}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{120 - 40 \cdot \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{162}
\]

Перевернем дробь и умножим обе стороны на \(\frac{3}{2}\):

\[
\frac{120 - 40 \cdot \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121}{162} \cdot \frac{3}{2}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{120 - 40 \cdot \frac{1}{3^n}}{\cancel{\frac{2}{\cancel{3}}}} \cdot \cancel{\frac{\cancel{3}}{2}} = \frac{121}{\cancel{162}} \cdot \cancel{\frac{\cancel{3}}{2}}
\]

Теперь перепишем уравнение:

\[
\frac{120 - 40 \cdot \frac{1}{3^n}}{1} = \frac{121}{108}
\]

Умножим обе стороны на 108:

\[
120 - 40 \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{121}{108} \cdot 108
\]

Упростим это уравнение:

\[
120 - 40 \cdot \frac{1}{3^n} = 121
\]

Вычтем 120 из обеих сторон:

\[
- 40 \cdot \frac{1}{3^n} = 121 - 120
\]

\[
-40 \cdot \frac{1}{3^n} = 1
\]

Переместим минус на другую сторону:

\[
40 \cdot \frac{1}{3^n} = -1
\]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на \(3^n\):

\[
40 = -3^n
\]

Теперь возьмем логарифм обеих сторон (по основанию -3) и решим уравнение:

\[
\log_{-3} 40 = \log_{-3} -3^n
\]

\[
\log_{-3} 40 = n
\]

Чтобы найти значение \( n \), мы должны использовать калькулятор или программу, которая поддерживает логарифмирование по отрицательному основанию.

Таким образом, решая это уравнение, мы найдем значение \( n \).