Дано: имеется сфера с площадью диаметрального сечения S равной 25п см 2. Найти: а) объем V этой сферы; б) площадь

Letuchaya_Mysh

48

Для решения этой задачи, нам будет необходимо использовать формулы, связанные с геометрией сферы.

а) Чтобы найти объем сферы, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3, \]

где \( V \) - объем сферы, а \( r \) - радиус сферы.

Так как в задаче у нас дана площадь диаметрального сечения, то нам нужно найти радиус данной сферы. Площадь диаметрального сечения сферы можно вычислить по следующей формуле:

\[ S = \pi r^2, \]

где \( S \) - площадь диаметрального сечения, а \( r \) - радиус сферы.

Для начала, выразим радиус сферы из уравнения площади диаметрального сечения:

\[ r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}, \]

где \( S = 25\pi \, \text{см}^2 \) (как указано в задаче).

Подставим найденное значение радиуса в формулу для объема сферы:

\[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{S}{\pi}}\right)^3. \]

Теперь выполним вычисления:

\[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{S}{\pi}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{25\pi}{\pi}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \pi (25)^{\frac{3}{2}}. \]

Вычислим \((25)^{\frac{3}{2}}\):

\[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 25^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \pi \cdot \sqrt{25^3} = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \, \text{см}^3. \]

Таким образом, объем сферы равен \(\frac{500}{3} \pi \, \text{см}^3\).

б) Чтобы найти площадь поверхности данной сферы, мы можем воспользоваться формулой:

\[ S_{\text{сф}} = 4 \pi r^2, \]

где \( S_{\text{сф}} \) - площадь поверхности сферы, а \( r \) - радиус сферы.

Мы уже знаем радиус сферы (он равен \(\sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{25\pi}{\pi}} = \sqrt{25} = 5\)), поэтому подставим данное значение и выполним вычисления:

\[ S_{\text{сф}} = 4 \pi \cdot 5^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi \, \text{см}^2. \]

Таким образом, площадь поверхности данной сферы равна \(100 \pi \, \text{см}^2\).

В итоге, мы получили:

а) объем сферы равен \(\frac{500}{3} \pi \, \text{см}^3\);

б) площадь поверхности сферы равна \(100 \pi \, \text{см}^2\).