Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Извлечь: а) MK; б) PE: NK; в) SMEP: SMKN

Yasli

66

Дано, что отрезок PE параллелен отрезку NK, а также известно, что отрезок MP равен 8, MN равен 12, а ME равен 6. Мы должны решить три части этой задачи: найти длину отрезка MK, отношение PE к NK и отношение площадей треугольников SMEP и SMKN.

а) Для определения длины отрезка MK мы можем использовать параллельность отрезков PE и NK. Так как PE || NK, то треугольники SMK и MPN подобны по теореме о сходстве треугольников. Поэтому отношение любых двух соответствующих сторон треугольников должно быть одинаковым.

В треугольнике SMK сторона ME соответствует стороне MP, и сторона MK соответствует стороне MN. Поэтому можно составить пропорцию:

\(\frac{{MK}}{{MN}} = \frac{{MP}}{{ME}}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{{MK}}{{12}} = \frac{{8}}{{6}}\)

Перемножив оба числителя и знаменателя крест-накрест, получаем:

\(6 \cdot MK = 12 \cdot 8\)

\(6MK = 96\)

Делая путем деления на 6 с обеих сторон, находим:

\(MK = \frac{{96}}{{6}}\)

\(MK = 16\)

Таким образом, длина отрезка MK равна 16.

б) Чтобы найти отношение PE к NK, мы можем использовать свойство параллельных линий. Если две параллельные линии пересекают другую линию, то отношение длин отрезков, проведенных из одной точки, будет таким же, как отношение длин соответствующих отрезков, проведенных из другой точки.

В данном случае, мы можем использовать точку M. Так как отрезок MP равен 8, а отрезок MN равен 12, получаем:

\(\frac{{PE}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{MN}}\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{{PE}}{{NK}} = \frac{{8}}{{12}}\)

Упрощая дробь, получаем:

\(\frac{{PE}}{{NK}} = \frac{{2}}{{3}}\)

Таким образом, отношение PE к NK равно 2:3.

в) Для определения отношения площадей треугольников SMEP и SMKN мы можем использовать теорему о площадях треугольников, основанную на отношении длин соответствующих сторон. Если отрезок, соединяющий две параллельные стороны треугольников, делит эти стороны в отношении \(m:n\), то отношение площадей треугольников будет равно \((m^2:n^2)\).

В данном случае, отрезок MK делит параллельные стороны треугольников SMEP и SMKN (SE и SN) в отношении 2:3, так как PE: NK равно 2:3. Следовательно, отношение площадей треугольников SMEP и SMKN будет равно \(2^2:3^2\), или 4:9.

Таким образом, отношение площадей треугольников SMEP и SMKN равно 4:9.