Дайте определение значения переменной y, при котором вектор a (5; -4; 3) и вектор b (-15; 12; y) а) перпендикулярны

Arina_8244

41

Для начала, давайте определим, что значит, что два вектора перпендикулярны или коллинеарны.

1. Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.
2. Два вектора называются коллинеарными, если они сонаправлены или противонаправлены и могут быть выражены друг через друга с помощью умножения на постоянный множитель.

Теперь давайте решим каждую часть задачи по порядку.

а) Перпендикулярность векторов а и b означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \cdot -15 + (-4) \cdot 12 + 3 \cdot y = 0
\]

Выполняя умножение и суммирование, получаем:

\[
-75 - 48 + 3y = 0
\]

Теперь найдем значение переменной y:

\[
-123 + 3y = 0
\]

Перенесем -123 на другую сторону уравнения:

\[
3y = 123
\]

И разделим обе части на 3:

\[
y = \frac{123}{3} = 41
\]

Таким образом, при значении переменной y равном 41, векторы a (5; -4; 3) и b (-15; 12; 41) являются перпендикулярными.

b) Коллинеарность векторов а и b означает, что они могут быть выражены друг через друга с помощью умножения на постоянный множитель.

Для определения коллинеарности, мы можем посмотреть на отношение компонент двух векторов. Пусть этим коэффициентом будет k.

\[
\frac{{5}}{{-15}} = \frac{{-4}}{{12}} = \frac{{3}}{{41}}
\]

Мы используем один коэффициент k, так как это определение коллинеарности.

\[
\frac{{5}}{{-15}} = \frac{{-4}}{{12}} = \frac{{3}}{{41}} = k
\]

Решив систему уравнений, мы получаем:

\[
k = \frac{{5}}{{-15}} = \frac{{-4}}{{12}} = \frac{{3}}{{41}} = -\frac{{1}}{{3}}
\]

Найдя значение переменной k, мы можем выразить один вектор через другой путем умножения на k:

\[
\mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b}
\]

\[
5 = -\frac{{1}}{{3}} \cdot (-15)
\]

\[
-4 = -\frac{{1}}{{3}} \cdot 12
\]

\[
3 = -\frac{{1}}{{3}} \cdot 41
\]

Подставив значения переменной k в нашу систему, мы получаем:

\[
5 = 5
\]

\[
-4 = -4
\]

\[
3 = 3
\]

Таким образом, при любом значении переменной y, вектор a (5; -4; 3) и вектор b (-15; 12; y) являются коллинеарными.