Дима и Павлик начали свой поход из одной точки в одном направлении одновременно. Однако Павлик делал остановку

Солнце

15

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть \(x\) будет расстоянием, на котором Дима и Павлик сделают одинаковое количество остановок.

Остановки Димы можно представить в виде арифметической прогрессии, где каждый член это расстояние между остановками. Расстояние между остановками Димы равно 2800 метров.

Остановки Павлика также образуют арифметическую прогрессию, где каждый член это расстояние между остановками Павлика. Расстояние между остановками Павлика равно 2400 метров.

Чтобы расстояния между остановками Димы и Павлика были одинаковыми, мы ищем общий знаменатель для обоих прогрессий.

Общий знаменатель для 2800 и 2400 равен 5600 метров.

Теперь мы можем выразить расстояние, на котором Дима и Павлик сделают одинаковое количество остановок, используя общий знаменатель:

\[x = 5600 \times n\]

Где \(n\) - количество остановок, которое сделают и Дима, и Павлик.

Теперь нас интересует минимальное расстояние, на котором места их остановок совпадут. Это произойдет, когда \(x\) будет самым маленьким.

Наименьшее значение \(n\) можно найти, найдя наименьшее общее кратное для 2800 и 2400.

Найдем наименьшее общее кратное для 2800 и 2400:

\[НОК(2800, 2400) = \frac{{2800 \times 2400}}{{НОД(2800, 2400)}}\]

НОД(2800, 2400) - наибольший общий делитель для 2800 и 2400.

Вычислим НОД(2800, 2400):

- Разложим 2800 на простые множители: \(2800 = 2^4 \times 5^2 \times 7\)
- Разложим 2400 на простые множители: \(2400 = 2^5 \times 3 \times 5^2\)
- НОД равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшими показателями степеней: НОД(2800, 2400) = \(2^4 \times 5^2 = 400\)

Теперь найдем НОК(2800, 2400):

\[НОК(2800, 2400) = \frac{{2800 \times 2400}}{400} = 16800\]

Таким образом, наименьшее расстояние, на котором места остановок Димы и Павлика совпадут, равно 16800 метров.

Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!