При каких значениях x выполняется неравенство y < 2x+8:x^2+4x и найдите все такие значения

Космическая_Звезда

1

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Начнем с приведения выражения к общему знаменателю. В неравенстве имеем правую часть \(2x+\frac{8}{x^2+4x}\). Чтобы привести его к общему знаменателю, умножим \(2x\) на \(\frac{x^2+4x}{x^2+4x}\):

\[y < \frac{2x(x^2+4x)}{x^2+4x}+\frac{8}{x^2+4x}\]

Теперь объединим числитель:

\[y < \frac{2x(x^2+4x)+8}{x^2+4x}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[y < \frac{2x^3+8x^2+8x}{x^2+4x}\]

Теперь поделим числитель на \(x\):

\[y < \frac{2x^3+8x^2+8x}{x(x+4)}\]

Когда мы имеем деление на переменную, необходимо учесть возможные значения, при которых знаменатель равен нулю или функция неопределена. В данном случае, \(x(x+4)\) будет равен нулю при \(x = 0\) и \(x = -4\). Эти значения создают разрыв в графике функции и представляют особые случаи.

Теперь найдем значения, для которых выражение \(\frac{2x^3+8x^2+8x}{x(x+4)}\) меньше \(y\). Для этого мы можем использовать различные методы, такие как построение графика или анализ знаков.

Например, если мы рассмотрим значения x между -4 и 0, то заметим, что \(x\) отрицательный, а \(x+4\) положительный. Таким образом, знак исходного выражения будет зависеть от знака \(2x^3+8x^2+8x\). Если значение этого выражения положительно, то исходное неравенство будет выполняться.

Мы можем применить метод исследования знаков или разложение на множители, чтобы узнать, когда \(2x^3+8x^2+8x > 0\). Проведем разложение на множители:

\[2x^3+8x^2+8x = 2x(x^2+4x+4)\]

Заметим, что \(x^2+4x+4 = (x+2)^2\) является полным квадратом. Таким образом, мы имеем:

\[2x(x+2)^2 > 0\]

Теперь мы видим, что для этого выражения выполнено два условия: \(x\) и \(x+2\) должны иметь один и тот же знак, исключая случай, когда \(x=0\) (так как в этом случае знаменатель становится равным нулю).

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать следующие выводы:

1. Для значений \(x < -4\) и \(x > 0\) исходное неравенство \(y < \frac{2x^3+8x^2+8x}{x(x+4)}\) выполняется, так как в этих диапазонах выражение \(\frac{2x^3+8x^2+8x}{x(x+4)}\) положительно.
2. Для значения \(x = 0\) неравенство не имеет смысла, так как знаменатель равен нулю.
3. Для значения \(x = -4\) неравенство не имеет смысла, так как знаменатель равен нулю.

Пожалуйста, учтите, что это лишь один из подходов к решению данной задачи, и другие подходы могут быть использованы для достижения того же результата.