Для каких значений х дробь (корень х -2)/(х-4) достигает максимального значения?

Matvey

45

Чтобы найти значения \(x\), при которых дробь \(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\) достигает максимального значения, мы можем использовать производные.

1. Сначала найдем производную данной функции. Для этого применим правило дифференцирования частного:
\[
\begin{aligned}
f(x) &= \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \\
&= (x - 4)^{-1/2} - 2(x - 4)^{-2}.
\end{aligned}
\]

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Чтобы найти эти точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[
(x - 4)^{-1/2} - 2(x - 4)^{-2} = 0.
\]

3. Для удобства введем дополнительное обозначение: пусть \(y = (x - 4)^{-1/2}\). Тогда получим уравнение:
\[
y - 2y^2 = 0.
\]

4. Мы можем вынести общий множитель \(y\) и привести уравнение к виду:
\[
y(1 - 2y) = 0.
\]

5. Таким образом, получаем два решения для значения \(y\): \(y = 0\) и \(1 - 2y = 0\).

6. Решив уравнение \(1 - 2y = 0\), мы получаем \(y = \frac{1}{2}\).

7. Теперь подставим значение \(y\) обратно в выражение \(y = (x - 4)^{-1/2}\) и решим уравнение:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} &= (x - 4)^{-1/2} \\
2 &= \frac{1}{(x - 4)^{1/2}} \\
2 &= (x - 4)^{1/2} \\
2^2 &= x - 4 \\
4 &= x - 4 \\
\Rightarrow x &= 8.
\end{aligned}
\]

Таким образом, дробь \(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\) достигает максимального значения при \(x = 8\).