Для каких значений параметра a оба корня уравнения х2–ах + 2 = 0 находятся в интервале (0, +∞)?

Chaynik

26

Для того чтобы найти значения параметра \(a\), при которых оба корня уравнения \(x^2 - ax + 2 = 0\) находятся в интервале \((0, +\infty)\), мы можем воспользоваться дискриминантом.

Для начала, определим выражение для дискриминанта \(D\) уравнения. Дискриминант показывает нам, сколько корней имеет квадратное уравнение:
\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) равны:
\[a = 1, \quad b = -a, \quad c = 2\]

Подставим их в выражение для дискриминанта \(D\):
\[D = (-a)^2 - 4(1)(2) = a^2 - 8\]

Теперь мы знаем, что уравнение будет иметь два корня, если \(D > 0\). При \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. А при \(D = 0\), уравнение имеет один действительный корень.

Давайте рассмотрим интервал, в котором оба корня уравнения находятся. В этом случае, оба корня должны быть положительными. Значит, каждый корень должен быть больше нуля.

Поскольку \(x^2 - ax + 2 = 0\) имеет два корня, они могут находиться в интервале \((0, +\infty)\) только в том случае, если оба корня больше нуля.

Теперь мы можем перейти к анализу дискриминанта \(D\), чтобы понять, при каких значениях параметра \(a\) это выполнено.

Мы знаем, что \(D = a^2 - 8\). Чтобы оба корня находились в интервале \((0, +\infty)\), дискриминант должен быть положительным (\(D > 0\)).

Получаем неравенство:
\[a^2 - 8 > 0\]

Данное неравенство можно решить, используя факторизацию или через исследование знаков.

Факторизуем неравенство:
\[(a - 2)(a + 2) > 0\]

Теперь изучим знаки выражения \((a - 2)(a + 2)\). Заметим, что эта функция меняет знаки при \(a = -2\) и \(a = 2\).

- Если \(a < -2\), оба множителя отрицательны и выражение \((a - 2)(a + 2)\) положительно.
- Если \(-2 < a < 2\), первый множитель отрицательный, а второй положительный, поэтому \((a - 2)(a + 2)\) отрицательно.
- Если \(a > 2\), оба множителя положительны и \((a - 2)(a + 2)\) снова положительно.

Таким образом, неравенство \(a^2 - 8 > 0\) выполняется для значений параметра \(a\) из интервала \((- \infty, -2) \cup (2, +\infty)\).

Итак, для значений параметра \(a < -2\) или \(a > 2\) оба корня уравнения \(x^2 - ax + 2 = 0\) находятся в интервале \((0, +\infty)\).