Для каких значений u, трехчлен u^2-1/2u-1/16 принимает негативные значения или равен нулю?

Vesenniy_Sad

16

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти значения переменной \( u \), для которых трехчлен \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} \) принимает негативные значения или равен нулю.

Для начала, давайте решим уравнение \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} = 0 \). Это уравнение является квадратным трехчленом, и мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта.

Формула дискриминанта имеет вид: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a \), \( b \) и \( c \) - коэффициенты из нашего уравнения \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} = 0 \).

Заменяем значения коэффициентов:
\( a = 1 \), \( b = -\frac{1}{2} \), \( c = -\frac{1}{16} \).

Теперь вычислим \( D \):
\( D = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right) \).

Выполняем вычисления:
\( D = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \).

Так как у нас получился положительный дискриминант (\( D > 0 \)), то уравнение \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} = 0 \) имеет два корня.

Далее мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

Подставляем значения:
\( u = \frac{-\left(-\frac{1}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1} \).

Выполняем вычисления:
\( u = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2}}}{2} \).

Рационализируем знаменатели:
\( u = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \).

Упрощаем:
\( u = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{4} \).

Таким образом, уравнение \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} = 0 \) имеет два корня: \( u = \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \) и \( u = \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \).

Теперь давайте найдем интервалы значений переменной \( u \), для которых трехчлен \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} \) принимает негативные значения.

Мы знаем, что у нас есть два корня: \( u = \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \) и \( u = \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \). Давайте расположим их на числовой прямой:

--------------\( \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \)---------------\( \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \)---------------

Теперь нам нужно определить, где на этой числовой прямой находятся интервалы, где трехчлен \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} \) принимает негативные значения или равен нулю. Чтобы это сделать, мы можем выбрать тестовые значения \( u \) из каждого интервала и проверить знак трехчлена.

1. Интервал до \( \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \): Выберем значение \( u \), близкое к нему, например \( u = \frac{1 - \sqrt{2}}{4} - 1 \).
Подставим это значение в трехчлен: \( \left(\frac{1 - \sqrt{2}}{4} - 1\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{4} - 1\right) - \frac{1}{16} \).

Выполняем вычисления:
\( \left(\frac{1 - \sqrt{2}}{4} - 1\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{4} - 1\right) - \frac{1}{16} \approx -0.13 \).

Мы получили отрицательное значение, следовательно, трехчлен принимает негативные значения в интервале до \( \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \).

2. Интервал между \( \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \) и \( \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \): Выберем значение \( u \), близкое к центру этого интервала, например \( u = \frac{1}{4} \).
Подставим это значение в трехчлен: \( \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{16} \).

Выполняем вычисления:
\( \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{16} = \frac{7}{16} \).

Мы получили положительное значение, следовательно, трехчлен не принимает негативные значения в интервале между \( \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \) и \( \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \).

3. Интервал после \( \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \): Выберем значение \( u \), близкое к нему, например \( u = \frac{1 + \sqrt{2}}{4} + 1 \).
Подставим это значение в трехчлен: \( \left(\frac{1 + \sqrt{2}}{4} + 1\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{4} + 1\right) - \frac{1}{16} \).

Выполняем вычисления:
\( \left(\frac{1 + \sqrt{2}}{4} + 1\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{4} + 1\right) - \frac{1}{16} \approx -0.72 \).

Мы получили отрицательное значение, следовательно, трехчлен принимает негативные значения в интервале после \( \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \).

Итак, трехчлен \( u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} \) принимает негативные значения или равен нулю в интервалах до \( \frac{1 - \sqrt{2}}{4} \) и после \( \frac{1 + \sqrt{2}}{4} \).