Для какого значения a прямая x=a выступает в роли оси симметрии графика функции y=(x+3)^2-4?

Georgiy

32

Чтобы найти значение \(a\), при котором прямая \(x = a\) выступает в роли оси симметрии для графика функции \(y = (x+3)^2-4\), нужно использовать определение оси симметрии. Ось симметрии — это вертикальная прямая, которая делит график функции на две симметричные части.

Для определения этой прямой нам нужно найти две точки графика функции, имеющие одинаковые значения функции относительно заданной оси.

Давайте найдем эти точки. Подставим \(x = a\) и \(x = -3 - a\) в уравнение функции \(y = (x+3)^2-4\):

Для \(x = a\):
\[y_1 = (a+3)^2-4\]

Для \(x = -3 - a\):
\[y_2 = (-3 - a + 3)^2 - 4 = (-a)^2 - 4 = a^2 - 4\]

Чтобы ось симметрии прямой \(x = a\) существовала, значения \(y_1\) и \(y_2\) должны быть равными. То есть:

\[(a+3)^2-4 = a^2-4\]

Раскроем квадраты:

\[a^2 + 6a + 9 - 4 = a^2 - 4\]

Упростим выражение:

\[6a + 5 = 0\]

Решим уравнение относительно \(a\):

\[6a = -5\]

\[a = -\frac{5}{6}\]

Итак, для значения \(a = -\frac{5}{6}\) прямая \(x = a\) является осью симметрии графика функции \(y = (x+3)^2-4\).

Мы использовали определение оси симметрии, чтобы понять, что эта прямая делит график функции на две симметричные части. Затем мы нашли точки \((a, y_1)\) и \((-3 - a, y_2)\), для которых значения функции равны, и приравняли их, чтобы найти значение \(a\). Решив полученное уравнение, мы получили, что \(a = -\frac{5}{6}\).