Какое значение m следует выбрать, чтобы функция f(x) = x^2 * √(m-x) имела точки экстремума в x=0 и x=6? Пожалуйста

Natalya

42

Чтобы функция \(f(x) = x^2 \sqrt{m-x}\) имела точки экстремума в точках \(x=0\) и \(x=6\), мы должны найти значение параметра \(m\), которое обеспечит такое условие. Для этого мы можем использовать производную функции и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции \(f(x)\). Для этого мы будем использовать правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования корня. Производная функции \(f(x)\) будет равна:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^2 \sqrt{m-x})\]

Применим первое правило дифференцирования:

\[f"(x) = 2x \sqrt{m-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{m-x})\]

Теперь применим второе правило дифференцирования:

\[f"(x) = 2x \sqrt{m-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{m-x}} \cdot \frac{d}{dx}(m-x)\]

Упростим выражение:

\[f"(x) = 2x \sqrt{m-x} + \frac{x^2}{2\sqrt{m-x}} \cdot (-1)\]

\[f"(x) = 2x \sqrt{m-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{m-x}}\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых \(f"(x) = 0\) (точки экстремума). Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[2x \sqrt{m-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{m-x}} = 0\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе части на \(2\sqrt{m-x}\):

\[2x \sqrt{m-x} \cdot 2\sqrt{m-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{m-x}} \cdot 2\sqrt{m-x} = 0 \cdot 2\sqrt{m-x}\]

\[4x(m-x) - \frac{x^2}{2} = 0\]

Распространим скобки:

\[4mx-4x^2 - \frac{x^2}{2} = 0\]

\[4mx - 4x^2 - \frac{2x^2}{2} = 0\]

\[4mx - 4x^2 - x^2 = 0\]

\[4mx - 5x^2 = 0\]

Теперь вынесем общий множитель \(x\):

\[x(4m - 5x) = 0\]

Теперь у нас есть два возможных варианта: \(x = 0\) или \(4m - 5x = 0\).

1. Если \(x = 0\), это означает, что одна из точек экстремума находится в \(x = 0\).
2. Решим уравнение \(4m - 5x = 0\) относительно \(x\):

\[4m - 5x = 0\]
\[5x = 4m\]
\[x = \frac{4m}{5}\]

Это значит, что другая точка экстремума находится в \(x = \frac{4m}{5}\).

Мы хотим, чтобы точки экстремума были в \(x = 0\) и \(x = 6\). Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. \(x = 0\)
2. \(x = \frac{4m}{5}\)

Решим второе уравнение относительно \(m\):

\[x = \frac{4m}{5}\]
\[\frac{5x}{4} = m\]

Теперь, заменим \(x = 6\) и решим уравнение относительно \(m\):

\[\frac{5 \cdot 6}{4} = m\]
\[m = \frac{30}{4}\]

Таким образом, чтобы функция \(f(x) = x^2 \sqrt{m-x}\) имела точки экстремума в \(x=0\) и \(x=6\), значение \(m\) должно быть равно \(\frac{30}{4}\) или \(\frac{15}{2}\).