Какое значение m следует выбрать, чтобы функция f(x) = x^2 * √(m-x) имела точки экстремума в x=0 и x=6? Пожалуйста

Natalya

42

Чтобы функция $f(x)=x^2\sqrt{m-x}$ имела точки экстремума в точках $x=0$ и $x=6$, мы должны найти значение параметра $m$, которое обеспечит такое условие. Для этого мы можем использовать производную функции и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования корня. Производная функции $f(x)$ будет равна:

$$f"(x)=\frac{d}{dx}(x^2\sqrt{m-x})$$

Применим первое правило дифференцирования:

$$f"(x)=2x\sqrt{m-x}+x^2\cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{m-x})$$

Теперь применим второе правило дифференцирования:

$$f"(x)=2x\sqrt{m-x}+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{m-x}}\cdot \frac{d}{dx}(m-x)$$

Упростим выражение:

$$f"(x)=2x\sqrt{m-x}+\frac{x^2}{2\sqrt{m-x}}\cdot (-1)$$

$$f"(x)=2x\sqrt{m-x}-\frac{x^2}{2\sqrt{m-x}}$$

Теперь найдем значения $x$, для которых $f"(x)=0$ (точки экстремума). Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$$2x\sqrt{m-x}-\frac{x^2}{2\sqrt{m-x}}=0$$

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе части на $2\sqrt{m-x}$:

$$2x\sqrt{m-x}\cdot 2\sqrt{m-x}-\frac{x^2}{2\sqrt{m-x}}\cdot 2\sqrt{m-x}=0\cdot 2\sqrt{m-x}$$

$$4x(m-x)-\frac{x^2}{2}=0$$

Распространим скобки:

$$4mx-4x^2-\frac{x^2}{2}=0$$

$$4mx-4x^2-\frac{2x^2}{2}=0$$

$$4mx-4x^2-x^2=0$$

$$4mx-5x^2=0$$

Теперь вынесем общий множитель $x$:

$$x(4m-5x)=0$$

Теперь у нас есть два возможных варианта: $x=0$ или $4m-5x=0$.

1. Если $x=0$, это означает, что одна из точек экстремума находится в $x=0$.
2. Решим уравнение $4m-5x=0$ относительно $x$:

$$4m-5x=0$$
$$5x=4m$$
$$x=\frac{4m}{5}$$

Это значит, что другая точка экстремума находится в $x=\frac{4m}{5}$.

Мы хотим, чтобы точки экстремума были в $x=0$ и $x=6$. Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. $x=0$
2. $x=\frac{4m}{5}$

Решим второе уравнение относительно $m$:

$$x=\frac{4m}{5}$$
$$\frac{5x}{4}=m$$

Теперь, заменим $x=6$ и решим уравнение относительно $m$:

$$\frac{5\cdot 6}{4}=m$$
$$m=\frac{30}{4}$$

Таким образом, чтобы функция $f(x)=x^2\sqrt{m-x}$ имела точки экстремума в $x=0$ и $x=6$, значение $m$ должно быть равно $\frac{30}{4}$ или $\frac{15}{2}$.