Для каждой последовательности, представленной некоторыми начальными членами, пожалуйста, предложите формулу для общего

Филипп

10

с этими последовательностями!

1) Для последовательности $\cos 1,\frac{\cos 2}{2},\frac{\cos 3}{3},\frac{\cos 4}{4},\dots$ мы можем заметить, что каждый следующий член последовательности равен $\frac{\cos (n+1)}{n+1}$, где $n$ - порядковый номер члена в последовательности. Формула для общего члена последовательности будет:

$$a_n=\frac{\cos (n+1)}{n+1}$$

Насчет монотонности: чтобы определить, является ли последовательность монотонной, мы должны проанализировать характер изменения ее членов. К сожалению, в данном случае сложно вывести явный характер изменения, так как косинусная функция может принимать разные значения в зависимости от аргумента. Поэтому здесь мы не можем сказать, что последовательность монотонно возрастающая или убывающая.

Относительно ограниченности: чтобы определить, является ли последовательность ограниченной, мы должны проверить, существуют ли такие числа $M$ и $N$, что все члены последовательности ограничены сверху или снизу соответственно. В данном случае, так как косинусная функция ограничена значениями от -1 до 1, каждый член последовательности будет ограничен сверху и снизу соответственно. Следовательно, последовательность ограничена.

Относительно сходимости: чтобы определить, является ли последовательность сходящейся, мы должны найти предел этой последовательности и проверить его существование. В данном случае, косинусная функция имеет предел $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\cos x$ , который не существует. Поэтому эта последовательность $\cos 1,\frac{\cos 2}{2},\frac{\cos 3}{3},\frac{\cos 4}{4},\dots$ не является сходящейся.

2) Для последовательности $\frac{1}{2},\frac{-2}{2^2},\frac{3}{2^3},\frac{-4}{2^4},\dots$ мы можем заметить, что числитель каждого следующего члена последовательности равен противоположному значению порядкового номера члена, а знаменатель равен $2$ возводимому в степень, равную порядковому номеру члена. Формула для общего члена последовательности будет:

$$a_n=\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot n}{2^n}$$

Касательно монотонности: чтобы определить, является ли последовательность монотонной, мы должны проанализировать характер изменения ее членов. В данном случае, знак (-1) в числителе влияет на знак каждого члена последовательности. Поэтому последовательность будет чередовать положительные и отрицательные значения, и не будет монотонно возрастать или убывать.

Относительно ограниченности: чтобы определить, является ли последовательность ограниченной, мы должны проверить, существуют ли такие числа $M$ и $N$, что все члены последовательности ограничены сверху или снизу соответственно. В данном случае, заметим, что каждый член последовательности ограничен величиной $\frac{n}{2^n}$. Мы можем использовать формулу для общего члена последовательности, чтобы оценить его предельное значение. Предел этой последовательности равен нулю, так как числитель будет убывать быстрее, чем знаменатель, при увеличении $n$. Следовательно, последовательность ограничена.

Относительно сходимости: чтобы определить, является ли последовательность сходящейся, мы должны найти предел этой последовательности и проверить его существование. В данном случае, предел последовательности равен нулю, так как числитель будет убывать быстрее, чем знаменатель, при увеличении $n$. Следовательно, эта последовательность $\frac{1}{2},\frac{-2}{2^2},\frac{3}{2^3},\frac{-4}{2^4},\dots$ будет сходящейся, и ее предел равен нулю.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут понять данные последовательности! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!