Для каждой последовательности, представленной некоторыми начальными членами, пожалуйста, предложите формулу для общего

Филипп

10

с этими последовательностями!

1) Для последовательности \(\cos1, \frac{{\cos2}}{2}, \frac{{\cos3}}{3}, \frac{{\cos4}}{4}, \ldots\) мы можем заметить, что каждый следующий член последовательности равен \(\frac{{\cos (n+1)}}{{n+1}}\), где \(n\) - порядковый номер члена в последовательности. Формула для общего члена последовательности будет:

\[a_n = \frac{{\cos (n+1)}}{{n+1}}\]

Насчет монотонности: чтобы определить, является ли последовательность монотонной, мы должны проанализировать характер изменения ее членов. К сожалению, в данном случае сложно вывести явный характер изменения, так как косинусная функция может принимать разные значения в зависимости от аргумента. Поэтому здесь мы не можем сказать, что последовательность монотонно возрастающая или убывающая.

Относительно ограниченности: чтобы определить, является ли последовательность ограниченной, мы должны проверить, существуют ли такие числа \(M\) и \(N\), что все члены последовательности ограничены сверху или снизу соответственно. В данном случае, так как косинусная функция ограничена значениями от -1 до 1, каждый член последовательности будет ограничен сверху и снизу соответственно. Следовательно, последовательность ограничена.

Относительно сходимости: чтобы определить, является ли последовательность сходящейся, мы должны найти предел этой последовательности и проверить его существование. В данном случае, косинусная функция имеет предел \(\lim_{{x \to \infty}} \cos x\) , который не существует. Поэтому эта последовательность \(\cos1, \frac{{\cos2}}{2}, \frac{{\cos3}}{3}, \frac{{\cos4}}{4}, \ldots\) не является сходящейся.

2) Для последовательности \(\frac{1}{2}, \frac{-2}{2^2}, \frac{3}{2^3}, \frac{-4}{2^4}, \ldots\) мы можем заметить, что числитель каждого следующего члена последовательности равен противоположному значению порядкового номера члена, а знаменатель равен \(2\) возводимому в степень, равную порядковому номеру члена. Формула для общего члена последовательности будет:

\[a_n = \frac{{(-1)^{n+1} \cdot n}}{{2^n}}\]

Касательно монотонности: чтобы определить, является ли последовательность монотонной, мы должны проанализировать характер изменения ее членов. В данном случае, знак (-1) в числителе влияет на знак каждого члена последовательности. Поэтому последовательность будет чередовать положительные и отрицательные значения, и не будет монотонно возрастать или убывать.

Относительно ограниченности: чтобы определить, является ли последовательность ограниченной, мы должны проверить, существуют ли такие числа \(M\) и \(N\), что все члены последовательности ограничены сверху или снизу соответственно. В данном случае, заметим, что каждый член последовательности ограничен величиной \(\frac{n}{2^n}\). Мы можем использовать формулу для общего члена последовательности, чтобы оценить его предельное значение. Предел этой последовательности равен нулю, так как числитель будет убывать быстрее, чем знаменатель, при увеличении \(n\). Следовательно, последовательность ограничена.

Относительно сходимости: чтобы определить, является ли последовательность сходящейся, мы должны найти предел этой последовательности и проверить его существование. В данном случае, предел последовательности равен нулю, так как числитель будет убывать быстрее, чем знаменатель, при увеличении \(n\). Следовательно, эта последовательность \(\frac{1}{2}, \frac{-2}{2^2}, \frac{3}{2^3}, \frac{-4}{2^4}, \ldots\) будет сходящейся, и ее предел равен нулю.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут понять данные последовательности! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!