До какой высоты плотность воздуха уменьшается на 50% от плотности на уровне моря при постоянной температуре?

Белка

51

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу, которая связывает плотность воздуха с высотой. Формула выглядит следующим образом:

\[
\rho(h) = \rho_0 \cdot e^{-\frac{h}{H}}
\]

где:
\(\rho(h)\) - плотность воздуха на высоте \(h\),
\(\rho_0\) - плотность воздуха на уровне моря,
\(e\) - число Эйлера (приближенно равно 2.71828),
\(h\) - высота, на которую нужно найти плотность,
\(H\) - масштабная высота, зависящая от температуры и состава атмосферы.

Мы знаем, что нам нужно найти высоту, на которой плотность воздуха уменьшается на 50% от плотности на уровне моря. То есть нам нужно найти такую высоту \(h\), при которой \(\rho(h) = \frac{1}{2} \cdot \rho_0\).

Подставим эти значения в формулу:

\[
\frac{1}{2} \cdot \rho_0 = \rho_0 \cdot e^{-\frac{h}{H}}
\]

После сокращения \(\rho_0\) уравнение примет вид:

\[
\frac{1}{2} = e^{-\frac{h}{H}}
\]

Для решения этого уравнения нужно прологарифмировать обе стороны по основанию \(e\):

\[
\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(e^{-\frac{h}{H}})
\]

Так как \(\ln(e^{-\frac{h}{H}})\) эквивалентно \(-\frac{h}{H} \cdot \ln(e)\), а \(\ln(e)\) равно 1, то уравнение упрощается до:

\[
\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{h}{H}
\]

Теперь нам нужно выразить \(h\) и найти его значение:

\[
h = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot H
\]

Таким образом, чтобы найти высоту, на которой плотность воздуха уменьшается на 50%, необходимо умножить масштабную высоту \(H\) на логарифм отношения \(\frac{1}{2}\).