Доказать, что длина отрезка cl равна тройной длине отрезка

Журавль

9

Для доказательства, что длина отрезка $\overline{cl}$ равна тройной длине отрезка $\overline{ab}$, мы воспользуемся свойством сегмента прямой, который разделяется точкой внутри сегмента.

Итак, пусть у нас имеются три точки: $a$, $b$ и $c$. Для удобства, давайте предположим, что точка $c$ находится между точками $a$ и $b$.

Теперь, чтобы доказать, что длина отрезка $\overline{cl}$ равна тройной длине отрезка $\overline{ab}$, нам необходимо доказать, что отношение длин этих отрезков равно 3:1.

Для начала, обозначим длину отрезка $\overline{ab}$ как \(x\). Тогда, длина отрезка $\overline{ac}$ будет равна \(x + x = 2x\) и длина отрезка $\overline{bc}$ будет равна \(x + x + x = 3x\).

Теперь мы должны убедиться, что \[\frac{|\overline{ac}|}{|\overline{bc}|} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}.\]

Для этого, рассмотрим треугольник $abc$. Известно, что треугольник обладает свойством отношения длин сторон и отношения площадей:

\[\frac{|\overline{ac}|}{|\overline{bc}|} = \frac{S_{\triangle{acb}}}{S_{\triangle{abc}}}.\]

Рассмотрим площади треугольников: \(S_{\triangle{acb}}\) и \(S_{\triangle{abc}}\).

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу полупериметра:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Рассмотрим треугольник \(acb\):

\[p_{acb} = \frac{|\overline{ac}| + |\overline{bc}| + |\overline{ab}|}{2} = \frac{2x + 3x + x}{2} = 3x.\]

Таким образом, площадь треугольника \(acb\) равна:

\[S_{\triangle{acb}} = \sqrt{3x(3x-2x)(3x-x)(3x-3x)} = \sqrt{3x^3 \cdot x^2} = \sqrt{3}x^2.\]

Аналогично, рассмотрим треугольник \(abc\):

\[p_{abc} = \frac{|\overline{ab}| + |\overline{bc}| + |\overline{ca}|}{2} = \frac{x + 3x + 2x}{2} = 3x.\]

Площадь треугольника \(abc\) равна:

\[S_{\triangle{abc}} = \sqrt{3x(3x-x)(3x-2x)(3x-3x)} = \sqrt{3}x^2.\]

Теперь посчитаем отношение площадей треугольников:

\[\frac{S_{\triangle{acb}}}{S_{\triangle{abc}}} = \frac{\sqrt{3}x^2}{\sqrt{3}x^2} = 1.\]

Мы видим, что \(\frac{|\overline{ac}|}{|\overline{bc}|} = 1\), что не соответствует нашему предположению, что эти отношения должны быть равны 3:1.

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка \(\overline{cl}\) не равна тройной длине отрезка \(\overline{ab}\).