Доказать, что в любом наборе из 5 острых углов найдутся три угла - а, в, с, для которых справедливо условие: каждая

Сквозь_Космос_118

62

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим как можно распределить 5 острых углов: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\).

Каждый острый угол лежит в пределах от 0° до 90°. Рассмотрим возможные варианты сумм попарных углов:

1. Если для некоторых трех углов справедливо условие, что каждая из попарных сумм будет больше 90°, то доказывать дальше не требуется, так как условие задачи уже выполнено.

2. Если есть набор из 5 острых углов, для которого справедливо условие задачи не выполняется, то рассмотрим, какие могут быть суммы попарных углов:

- Если все три суммы \(a + b\), \(a + c\), \(b + c\) не превышают 90°, то можно заметить, что сумма всех 5 углов будет меньше или равна \(3 \times 90 = 270°\), что приводит к противоречию, так как сумма всех углов в пятиугольнике равна 540°.

- Следовательно, хотя бы одна из попарных сумм должна быть больше 90°.

Таким образом, принимая во внимание два перечисленных случая, при любом наборе из 5 острых углов найдутся три угла - \(a\), \(b\), \(c\), для которых справедливо условие: каждая из попарных сумм \(a + b\), \(a + c\), \(b + c\) будет либо больше 90°, либо не больше этого значения.

Данное утверждение можно сформулировать следующим образом: "В любом наборе из 5 острых углов найдутся три угла \(a\), \(b\), \(c\), для которых сумма каждой пары углов будет либо больше 90°, либо не больше этого значения".