Докажите, что 1 - тангенс B равен синусу

Yak

68

Для данной задачи, мы будем использовать следующие математические идентичности:

\[\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \quad \text{(Идентичность 1)}\]
\[\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \quad \text{(Идентичность 2)}\]

Начнем с выражения, которое нужно доказать: \(1 - \tan B = \sin B\).

Сначала запишем тангенс \(B\) через синусы и косинусы, используя определение тангенса:

\[\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}\]

Теперь мы можем переписать выражение \(1 - \tan B\) в терминах синуса и косинуса:

\[1 - \tan B = 1 - \frac{\sin B}{\cos B}\]

С помощью идентичности 1, мы можем записать \(\sin B\) в виде \(\sin(B - B)\):

\[1 - \tan B = 1 - \frac{\sin(B - B)}{\cos B}\]

Теперь, используя идентичность 2, мы можем переписать \(\sin(B - B)\) в терминах синуса и косинуса:

\[1 - \tan B = 1 - \frac{\sin B \cos B - \cos B \sin B}{\cos B}\]

Заметим, что \(\sin B \cos B\) и \(\cos B \sin B\) в числителе уничтожаются:

\[1 - \tan B = 1 - \frac{0}{\cos B}\]

Таким образом, получаем:

\[1 - \tan B = 1\]

Итак, мы доказали, что \(1 - \tan B = \sin B\) для любого значения угла \(B\).