Докажите, что a = b, в случае если а) a является множеством двузначных чисел, которые кратны 9, а b - множеством

  • 47
Докажите, что a = b, в случае если а) a является множеством двузначных чисел, которые кратны 9, а b - множеством двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9; б) a - множество натуральных чисел, оканчивающихся на ноль, а b - множество натуральных чисел, кратных 7.
Smurfik
28
10.

Доказательство а) Возьмем произвольное двузначное число x, которое кратно 9. Таким образом, число x можно представить в виде x=9k, где k - некоторое целое число.

Двузначное число x можно записать как сумму его цифр, то есть x=10a+b, где a и b - цифры числа x.

Так как x=9k, то и 10a+b=9k.

Разделим каждую часть равенства 10a+b=9k на 9:

10a+b9=9k9

Мы получаем:

a+b9=k

Так как a и b - цифры числа x, то они неотрицательны и меньше 10. Значит, b9 - это дробное число, меньшее единицы.

Для того чтобы две числа были равны, их дробные части также должны быть равны. Таким образом, b9=0.

Это возможно только в том случае, если b=0.

Таким образом, каждое двузначное число x, кратное 9, можно представить в виде x=10a, где a - цифра числа x.

Если b=0, то каждое двузначное число, сумма цифр которого кратна 9, также можно представить в виде x=10a.

Таким образом, множество двузначных чисел, кратных 9, совпадает с множеством двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9, и мы можем сделать вывод, что множество a равно множеству b.

Доказательство б) Возьмем произвольное натуральное число x, которое оканчивается на 0. Таким образом, число x можно представить в виде x=10k, где k - некоторое натуральное число.

Так как x=10k, то и x кратно 10. То есть, x можно представить в виде x=10a, где a - целое число.

Теперь возьмем произвольное натуральное число y, которое кратно 10. То есть, y можно представить в виде y=10b, где b - целое число.

Так как y=10b, то и y оканчивается на 0.

Таким образом, каждое натуральное число, оканчивающееся на 0, можно представить в виде x=10a, где a - целое число.

Если y оканчивается на 0, то каждое натуральное число, кратное 10, также можно представить в виде y=10b.

Таким образом, множество натуральных чисел, оканчивающихся на 0, равно множеству натуральных чисел, кратных 10, и мы можем сделать вывод, что множество a равно множеству b.

Итак, в обоих случаях мы доказали, что множество a равно множеству b, что подтверждает равенство a=b.