Докажите, что a = b, в случае если а) a является множеством двузначных чисел, которые кратны 9, а b - множеством

Smurfik

28

10.

Доказательство а) Возьмем произвольное двузначное число \(x\), которое кратно 9. Таким образом, число \(x\) можно представить в виде \(x = 9 \cdot k\), где \(k\) - некоторое целое число.

Двузначное число \(x\) можно записать как сумму его цифр, то есть \(x = 10 \cdot a + b\), где \(a\) и \(b\) - цифры числа \(x\).

Так как \(x = 9 \cdot k\), то и \(10 \cdot a + b = 9 \cdot k\).

Разделим каждую часть равенства \(10 \cdot a + b = 9 \cdot k\) на 9:

\[\frac{{10 \cdot a + b}}{{9}} = \frac{{9 \cdot k}}{{9}}\]

Мы получаем:

\[a + \frac{{b}}{{9}} = k\]

Так как \(a\) и \(b\) - цифры числа \(x\), то они неотрицательны и меньше 10. Значит, \(\frac{{b}}{{9}}\) - это дробное число, меньшее единицы.

Для того чтобы две числа были равны, их дробные части также должны быть равны. Таким образом, \(\frac{{b}}{{9}} = 0\).

Это возможно только в том случае, если \(b = 0\).

Таким образом, каждое двузначное число \(x\), кратное 9, можно представить в виде \(x = 10 \cdot a\), где \(a\) - цифра числа \(x\).

Если \(b = 0\), то каждое двузначное число, сумма цифр которого кратна 9, также можно представить в виде \(x = 10 \cdot a\).

Таким образом, множество двузначных чисел, кратных 9, совпадает с множеством двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9, и мы можем сделать вывод, что множество \(a\) равно множеству \(b\).

Доказательство б) Возьмем произвольное натуральное число \(x\), которое оканчивается на 0. Таким образом, число \(x\) можно представить в виде \(x = 10 \cdot k\), где \(k\) - некоторое натуральное число.

Так как \(x = 10 \cdot k\), то и \(x\) кратно 10. То есть, \(x\) можно представить в виде \(x = 10 \cdot a\), где \(a\) - целое число.

Теперь возьмем произвольное натуральное число \(y\), которое кратно 10. То есть, \(y\) можно представить в виде \(y = 10 \cdot b\), где \(b\) - целое число.

Так как \(y = 10 \cdot b\), то и \(y\) оканчивается на 0.

Таким образом, каждое натуральное число, оканчивающееся на 0, можно представить в виде \(x = 10 \cdot a\), где \(a\) - целое число.

Если \(y\) оканчивается на 0, то каждое натуральное число, кратное 10, также можно представить в виде \(y = 10 \cdot b\).

Таким образом, множество натуральных чисел, оканчивающихся на 0, равно множеству натуральных чисел, кратных 10, и мы можем сделать вывод, что множество \(a\) равно множеству \(b\).

Итак, в обоих случаях мы доказали, что множество \(a\) равно множеству \(b\), что подтверждает равенство \(a = b\).