докажите, что AL равна половине гипотенузы

Lina

45

Хорошо, давайте рассмотрим задачу. Нам нужно доказать, что AL (где A - вершина прямоугольного треугольника, L - точка на гипотенузе AL) равна половине гипотенузы.

Итак, пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где угол ABC - прямой угол, AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты. Пусть точка L находится на гипотенузе AB таким образом, что AL делит гипотенузу на две равные части.

Чтобы доказать, что AL равна половине гипотенузы, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Теперь мы можем заметить, что треугольник ABL и треугольник ABC оба подобны, так как у них два угла одинаковы (по построению).

Это означает, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Таким образом, мы можем сказать, что:
\[\frac{AL}{AC} = \frac{AB}{BC}\]

Из пропорции, мы можем выразить AL через известные значения:
\[AL = \frac{AB \cdot AC}{BC}\]

Теперь, чтобы доказать, что AL равна половине гипотенузы, нам нужно показать, что \(\frac{AL}{AB}\) равно \(\frac{1}{2}\).

Мы знаем, что AL = \(\frac{AB \cdot AC}{BC}\), поэтому:
\[\frac{AL}{AB} = \frac{\frac{AB \cdot AC}{BC}}{AB} = \frac{AC}{BC}\]

Теперь вернемся к теореме Пифагора:
\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Разделим обе части на BC^2, чтобы выразить AC^2/BC^2:
\[\frac{AB^2}{BC^2} = 1 + \frac{AC^2}{BC^2}\]

Более поглубже рассмотрим последнее равенство. У нас есть \(\frac{AC}{BC}\) в знаменателе, это значит, что это равно \((\frac{AC}{BC})^2\). Тогда мы получим:
\[\frac{AB^2}{BC^2} = 1 + (\frac{AC}{BC})^2\]

Теперь, заметим, что \(\frac{AB^2}{BC^2}\) равно \((\frac{AB}{BC})^2\). Подставим это значение в наше уравнение:
\[(\frac{AB}{BC})^2 = 1 + (\frac{AC}{BC})^2\]

Возведем все части уравнения в квадрат:
\[(\frac{AB}{BC})^2 = 1 + (\frac{AC}{BC})^2\]
\[(\frac{AB}{BC})^2 - (\frac{AC}{BC})^2 = 1\]

Очевидно, что левая часть уравнения является разностью квадратов, и мы можем ее факторизовать:
\[(\frac{AB}{BC} - \frac{AC}{BC})(\frac{AB}{BC} + \frac{AC}{BC}) = 1\]

Мы можем упростить это уравнение еще больше, подставив \(\frac{AL}{AB}\) и \(\frac{AC}{BC}\):
\[(\frac{AL}{AB} - \frac{AC}{BC})(\frac{AL}{AB} + \frac{AC}{BC}) = 1\]

Теперь, если мы заменим \(\frac{AL}{AB}\) на x, то у нас получится квадратное уравнение:
\[(x - \frac{AC}{BC})(x + \frac{AC}{BC}) = 1\]

Мы знаем, что AL делит гипотенузу на две равные части, поэтому \(\frac{AL}{AB}\) равно \(\frac{1}{2}\). Подставим это значение в уравнение:
\[(\frac{1}{2} - \frac{AC}{BC})(\frac{1}{2} + \frac{AC}{BC}) = 1\]

Умножим обе части уравнения на 2:
\[(1 - 2\frac{AC}{BC})(1 + 2\frac{AC}{BC}) = 2\]

Мы можем заметить, что \((1 - 2\frac{AC}{BC})(1 + 2\frac{AC}{BC})\) является разностью квадратов:
\[(1 - (\frac{2AC}{BC})^2) = 2\]

Упростим это уравнение:
\[1 - \frac{4AC^2}{BC^2} = 2\]

Теперь, если мы выразим \(\frac{AC^2}{BC^2}\), мы получим:
\[\frac{AC^2}{BC^2} = \frac{-1}{4}\]

Мы можем заметить, что это означает, что \(\frac{AC}{BC}\) равно \(\frac{-1}{2}\).

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{AL}{AB} = \frac{1}{2}\), что и требовалось доказать.

Вывод: Мы доказали, что точка L, которая делит гипотенузу на две равные части, на самом деле находится на расстоянии половины гипотенузы от вершины A прямоугольного треугольника ABC.