Докажите, что для касательной CB и секущей CA окружности справедливо утверждение: CB в квадрате равно произведению

Кобра

63

Для доказательства данного утверждения, давайте последовательно пройдем по подсказкам и построим доказательство.

1) Первая подсказка говорит нам, что угол 2 равен углу 3. Рассмотрим диаметр окружности, перпендикулярный касательной от точки B. Обозначим середину диаметра как точку D. Так как AD является радиусом окружности, то угол CAD является прямым углом. Также, по свойству касательной, угол 1 является прямым углом. Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, получаем, что угол 2 должен равняться углу 3.

2) Вторая подсказка говорит нам о подобии треугольников CBA и CDB. Рассмотрим треугольники CBA и CDB. У нас уже есть два равных угла: угол 2 и угол 3. Также, угол при вершине B в обоих треугольниках будет равным 90 градусам, так как CB - касательная к окружности. Исходя из свойств подобных треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники CBA и CDB подобны.

3) Третья подсказка говорит о рассмотрении соотношения сторон подобных треугольников. Обозначим стороны треугольника CBA как a, b и c, а стороны треугольника CDB как p, q и r, причём p соответствует стороне a, q - стороне b, а r - стороне c. В подобных треугольниках соотношение сторон равносторонних треугольников одинаково. Запишем это соотношение:

\[\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\]

Из этого соотношения мы можем записать:

\[\frac{a}{c}=\frac{p}{r}\]

Так как треугольники CBA и CDB подобны, мы можем заменить отношения сторон на равные значения, получив:

\[\frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CB}\]

Умножим обе части этого равенства на CD:

\[CB^2 = CA \cdot CD\]

Итак, мы доказали, что для касательной CB и секущей CA окружности справедливо утверждение: CB в квадрате равно произведению CA на CD.