Докажите, что для всех допустимых значений переменной b значение выражения: 1) 14b-b^2-50/b^2+2b+1 отрицательное

Ledyanoy_Serdce

19

Хорошо, для начала рассмотрим первый вопрос:

1) Докажем, что выражение \(\frac{14b-b^2-50}{b^2+2b+1}\) отрицательно для всех допустимых значений переменной \(b\).

Для начала, давайте упростим данное выражение. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\(\frac{14b-b^2-50}{b^2+2b+1} = \frac{14b-b^2-50}{(b+1)^2}\)

Теперь, чтобы выяснить знак данного выражения, рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Числитель: \(14b-b^2-50\)

Знаменатель: \((b+1)^2\)

Посмотрим на числитель. У нас есть квадратный наряд, который может быть записан как \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\). Применим эту формулу:

\(14b-b^2-50 = (-b^2+14b-50)\)

Заметим, что \(a=-b\), а \(b=7\):

\((-b^2+14b-50) = (-(b-7)^2-1)\)

Получившееся число является отрицательным для всех допустимых значений \(b\).

Теперь рассмотрим знаменатель. У нас есть квадратный наряд, поэтому он всегда будет неотрицательным для всех значений \(b\).

Таким образом, мы видим, что числитель отрицателен, а знаменатель неотрицателен, что означает, что всё выражение будет отрицательным для всех допустимых значений переменной \(b\).

Аналогичным образом, мы можем рассмотреть второй вопрос:

2) Докажите, что выражение \(\frac{b^2-16b+64}{b^6+1}\) неотрицательно для всех допустимых значений переменной \(b\).

Мы можем использовать похожий метод, чтобы решить этот вопрос. Давайте раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\(\frac{b^2-16b+64}{b^6+1}\)

Наблюдая числитель, мы видим, что это является квадратным трёхчленом \((b-8)^2\), который всегда неотрицательный.

Знаменатель \(b^6+1\) также всегда неотрицателен, так как степень положительная и прибавляем единицу.

Таким образом, числитель и знаменатель являются неотрицательными, что означает, что выражение \(\frac{b^2-16b+64}{b^6+1}\) также неотрицательно для всех допустимых значений переменной \(b\).

Этим мы доказали, что оба выражения имеют соответствующие знаки.