Докажите, что для всех натуральных значений n значение выражения 3 умножить 8 в степени 2n+1 плюс 62 умножить

Zoloto

68

Для доказательства того, что выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21n\) является кратным натуральному числу, нам нужно использовать математическую индукцию.

Для этого мы должны выполнить два шага: базовый случай и индукционный шаг.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1)
Подставим n = 1 в выражение и покажем, что оно является кратным некоторому натуральному числу.
\[
3 \cdot 8^{2(1)+1} + 62 \cdot 21(1) = 3 \cdot 8^3 + 62 \cdot 21 = 3 \cdot 512 + 1302 = 1536 + 1302 = 2838
\]
Примечание: Мы получили число 2838.
Теперь, чтобы показать, что это число кратно некоторому натуральному числу, мы можем разделить его на это число и показать, что остаток равен нулю.

Давайте возьмем число 2838 и разделим его на 6 (это натуральное число).
\[
\frac{2838}{6} = 473
\]
Примечание: Мы получили результат также является натуральным числом (473), а значит, число 2838 является кратным 6.

Шаг 2: Индукционный шаг
Допустим, для некоторого положительного целого числа k выражение \(3 \cdot 8^{2k+1} + 62 \cdot 21k\) кратно некоторому натуральному числу. Нам нужно доказать, что при n = k + 1 это утверждение также верно.

Подставим n = k + 1 в выражение:
\[
3 \cdot 8^{2(k+1)+1} + 62 \cdot 21(k+1) = 3 \cdot 8^{2k+3} + 62 \cdot 21k + 62 \cdot 21
\]

Заметим, что \(8^{2k+3} = 8^{2k+1} \cdot 8^2\)
Теперь мы можем переписать выражение:
\[
3 \cdot 8^{2k+1} \cdot 8^2 + 62 \cdot 21k + 62 \cdot 21
\]
\[
= 9 \cdot (3 \cdot 8^{2k+1} + 62 \cdot 21k) + 62 \cdot 21
\]

Мы знаем, что \(3 \cdot 8^{2k+1} + 62 \cdot 21k\) кратно некоторому натуральному числу по предположению индукции. Пусть это число равно c.

Теперь мы можем переписать выражение:
\[
9c + 62 \cdot 21
\]

Давайте выберем число 3 и число 62 в качестве двух натуральных чисел, на которые это выражение кратно, и продолжим доказательство.

Мы можем записать:
\[
9c + 62 \cdot 21 = 3 \cdot 3c + 2 \cdot 3c + 62 \cdot 3 \cdot 7
= 3(3c + 2 \cdot 3c + 62 \cdot 7)
\]

Теперь мы видим, что это выражение делится на 3.

Также мы видим, что \(3c + 2 \cdot 3c + 62 \cdot 7\) является суммой трех целых чисел, поэтому мы можем записать его как:
\[
3c + 2 \cdot 3c + 62 \cdot 7 = 3(c + 2c) + 62 \cdot 7 = 3(3c) + 62 \cdot 7
\]

Таким образом, это выражение также делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что при n = k + 1 выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21n\) также является кратным некоторому натуральному числу, предполагая, что оно кратно натуральному числу при n = k.

Итак, используя принцип математической индукции, мы можем заключить, что для всех натуральных значений n выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21n\) является кратным некоторому натуральному числу.