Докажите, что для значения x, где 0 < x < 0,4, выполняется неравенство 2x + 1/x^2 > 7,05. В ходе доказательства

Летающий_Космонавт

15

1. Для начала решим неравенство 2x + 1/x^2 > 7,05. Для этого приведем его к общему знаменателю:

\(2x \cdot x^2 + 1 > 7,05x^2\)

\(2x^3 + 1 > 7,05x^2\)

Затем приведем уравнение к квадратному виду и решим его:

\(2x^3 - 7,05x^2 + 1 > 0\)

Поскольку данное уравнение достаточно сложно для факторизации, воспользуемся графическим методом или методом исследования знаков.

2. Для определения значения f""(x) < 0 найдем производную функции дважды и проверим знак полученного выражения. Для этого возьмем производные, используя правила дифференцирования:

\(f(x) = 2x^3 - 7,05x^2 + 1\)

\(f"(x) = 6x^2 - 14,1x\)

\(f""(x) = 12x - 14,1\)

Теперь найдем интервал, при котором f""(x) < 0. Решим неравенство:

\(12x - 14,1 < 0\)

\(12x < 14,1\)

\(x < \frac{14,1}{12}\)

\(x < 1,175\)

Таким образом, при \(0 < x < 1,175\) значение f""(x) < 0.

3. Теперь определим характер функции на заданном интервале. Для этого проанализируем знаки производных.

Когда f"(x) > 0 (для \(0 < x < 1,175\)), функция f(x) возрастает.

Когда f"(x) < 0 (для \(x < 0\) или \(x > 1,175\)), функция f(x) убывает.

Таким образом, на заданном интервале функция является возрастающей для \(0 < x < 1,175\) и убывающей для \(x < 0\) или \(x > 1,175\).

Также, свойство убывающей функции можно записать следующим образом:

Если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\).