Каково максимальное значение функции y=2x+72/x+9 на интервале от -18 до -0.5?

Шмель

6

Для нахождения максимального значения функции \(y = \frac{{2x + 72}}{{x + 9}}\) на интервале от -18 до -0.5, нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции
Шаг 2: Поставьте производную равной нулю и найдите критические точки
Шаг 3: Подставьте эти критические точки, а также концы интервала, в исходную функцию
Шаг 4: Определите, какая из полученных значений является максимальной

Давайте приступим к каждому шагу подробнее:

Шаг 1: Найдите производную функции
Чтобы найти производную функции \(y = \frac{{2x + 72}}{{x + 9}}\), используем правило дифференцирования дроби. Для этой функции мы можем использовать правило дифференцирования квотиента. Производная функции \(y\) будет равна:

\[
y" = \frac{{(2 \cdot (x + 9) - (2x + 72) \cdot 1)}}{{(x + 9)^2}}
\]

\[
y" = \frac{{2x + 18 - 2x - 72}}{{(x + 9)^2}}
\]

\[
y" = \frac{{-54}}{{(x + 9)^2}}
\]

Шаг 2: Поставьте производную равной нулю и найдите критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную \(y"\) к нулю и решим уравнение:

\[
\frac{{-54}}{{(x + 9)^2}} = 0
\]

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю. Поэтому у нас получается следующее уравнение:

\[
-54 = 0
\]

Это уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 3: Подставьте критические точки и концы интервала в исходную функцию
Так как у нас нет критических точек, нам нужно проверить значения на концах интервала. Подставим \(x = -18\) и \(x = -0.5\) в функцию \(y\):

При \(x = -18\):
\[
y = \frac{{2 \cdot (-18) + 72}}{{(-18) + 9}} = \frac{{-36 + 72}}{{-9}} = -8
\]

При \(x = -0.5\):
\[
y = \frac{{2 \cdot (-0.5) + 72}}{{(-0.5) + 9}} = \frac{{-1 + 72}}{{8.5}} = \frac{{71}}{{8.5}} = 8.35
\]

Шаг 4: Определите максимальное значение
Теперь, когда мы знаем значения при \(x = -18\) и \(x = -0.5\), определим, какое из них является максимальным. Максимальное значение будет равно 8.35 при \(x = -0.5\).

Итак, на интервале от -18 до -0.5 максимальное значение функции \(y = \frac{{2x + 72}}{{x + 9}}\) равно 8.35.