Докажите, что если две стороны четырехугольника параллельны, а одна из его диагоналей делит другую на две равные части

Belenkaya

10

Чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, нам необходимо привести доказательство на основе известных фактов о параллелограммах.

1. Пусть дан четырехугольник ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а AC - диагональ, которая делит BD на две равные части.

2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Они имеют общую сторону AC и равные противоположные углы при вершине C (так как они соответственные углы при параллельных прямых).

3. Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они также имеют общую сторону BD и равные противоположные углы при вершине B (как соответственные углы при параллельных прямых).

4. Следовательно, по критерию равенства треугольников (СКР), треугольники ABC и CDA равны, и треугольники ABD и CBD равны.

5. Так как треугольники ABD и CBD равны, значит, их соответствующие стороны также равны: AB = CD и BD = BD (так как это одна и та же сторона).

6. Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что BC = AD и AC = AC (так как это одна и та же сторона).

7. Таким образом, у нас получились две пары равных сторон: AB = CD и BC = AD. Это условие, при котором четырехугольник является параллелограммом.

8. Также, поскольку AC делит BD на две равные части, имеем BD = BD.

9. Из пунктов 7 и 8 следует, что все стороны четырехугольника ABCD равны попарно: AB = CD, BC = AD, AC = AC и BD = BD.

10. В соответствии с определением параллелограмма, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были равны.

11. Исходя из пункта 10, и учитывая равенство сторон из пункта 9, можно заключить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что если две стороны четырехугольника параллельны, а одна из его диагоналей делит другую на две равные части, то данный четырехугольник является параллелограммом.