Докажите, что если функция A убывает и функция B убывает, то композиция функций A и B также убывает

Космический_Путешественник_9631

11

Чтобы доказать, что композиция убывающих функций также является убывающей функцией, мы должны вначале привести определение убывающей функции.

Функция A является убывающей, если для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\) из области определения функции A, если \(x_1 < x_2\), то \(A(x_1) > A(x_2)\).

Аналогично, функция B является убывающей, если для любых двух точек \(x_3\) и \(x_4\) из области определения функции B, если \(x_3 < x_4\), то \(B(x_3) > B(x_4)\).

Теперь докажем, что композиция функций A и B, обозначаемая \(A \circ B\), также является убывающей функцией. Для этого нам необходимо взять две точки \(x_5\) и \(x_6\), где \(x_5 < x_6\), и показать, что \(A \circ B(x_5) > A \circ B(x_6)\).

Так как \(A \circ B(x) = A(B(x))\), мы можем заменить \(x_5\) и \(x_6\) в композиции функций A и B следующим образом:

\(A \circ B(x_5) = A(B(x_5))\) и \(A \circ B(x_6) = A(B(x_6))\).

Основываясь на условии задачи, функция A убывает, поэтому если мы возьмем \(B(x_5) < B(x_6)\), то по определению убывающей функции A получим \(A(B(x_5)) > A(B(x_6))\).

Итак, мы доказали, что если функция A убывает и функция B убывает, то композиция функций A и B также является убывающей функцией.