Докажите, что если событие A независимо от самого себя, то P{A} = 0 или P{A

Морской_Сказочник

38

Для начала, давайте разберемся в определении независимости событий.

Событие A называется независимым от самого себя, если наступление события A не влияет на вероятность его же наступления.

Запишем данное условие формулой: P(A|A) = P(A)

Где P(A|A) - условная вероятность события A при условии, что уже произошло событие A.

Для простоты докажем данное утверждение используя противоположие. То есть, предположим что P(A) не равно 0 и P(A) не равно 1.

Итак, пусть P(A) не равно 0 и P(A) не равно 1.

Согласно формуле условной вероятности:

P(A|A) = P(A ∩ A) / P(A)

Так как событие A независимо от самого себя, то пересечение A ∩ A будет равно событию A.

То есть, P(A|A) = P(A) / P(A)

Теперь мы можем сократить P(A) из числителя и знаменателя.

Таким образом, получаем: P(A|A) = 1

Но согласно заданию, P(A|A) = P(A)

Следовательно, P(A) = 1

Так как мы предположили, что P(A) не равно 1, мы получили противоречие.

Таким образом, наше предположение ошибочно и P(A) не может быть ни 0, ни 1, если событие A независимо от самого себя.

Следовательно, вероятность события A в этом случае будет равна 0.